Supongamos que el logaritmo del precio sigue un puente Browniano estándar desde $O$ hasta $C$, alcanzando un máximo de $H$ y un mínimo de $L en el camino. Los caminos se pueden construir con la aplicación del principio de reflexión.
Tomemos primero la tarea más simple de construir caminos Brownianos con la propiedad OHC. Comenzamos con un puente Browniano que conecta el precio de apertura $O$ en el momento de apertura $t=0$ con el precio $2H-C$ en el momento de cierre $t=1$. Entre los caminos construidos, eliminamos aquellos que cruzan por debajo de $H$ desde arriba después de haber cruzado por encima de $H$ desde abajo por primera vez. Para cada camino restante, reflejamos la parte más allá del tiempo de detención del primer cruce de $H$ alrededor de $H.
La tarea original se puede lograr mediante la aplicación repetida y cuidadosa del mismo principio de reflexión. El algoritmo es un poco más complicado. Sin embargo, dividimos todo el camino en subconjuntos disjuntos por la secuencia de tiempos de llegada de $H$ y $L$ entre el punto de apertura $O$ (pongamos el precio de $O$ en $0$ y comenzamos en el tiempo $0$ y terminamos en el tiempo $1$) y el punto de cierre $C$. En la siguiente descripción del algoritmo, voy a sacrificar el rigor en aras de la simplicidad de la descripción --- hasta que alguien haga preguntas y me pida llenar los detalles. Un camino que posea la propiedad requerida comenzará desde $0$ e impactará alternativamente en $H$ y $L para terminar en $C$. Sea $h_k$ el tiempo de detención del camino al golpear el precio de $H$ por $k$-ésima vez después de que el camino golpeó $L$. Por lo tanto, entre $O$ y $C$, el conjunto de secuencias de tiempo de llegada en orden de ocurrencia es $\{(h_1,l_1),(h_1,l_1,h_2),(h_1,l_1,h_2,l_2),...\}$ unido con $\{(l_1,h_1),(l_1,h_1,l_2),(l_1,h_1,l_2,h_2),...\}$.
Los caminos que generan cada secuencia de tiempo de llegada corresponden a un subconjunto de puentes Brownianos que emanan de $0$ y terminan en diferentes puntos de precio $p$ en el tiempo $t=1$ con densidad proporcional a $e^{-p^2}$. Deje que $k$ recorra todos los números naturales. Para $(l_1,h_1,...,l_k,h_k)$, el puente Browniano termina en $p=C-2k(H-L)$; para la sequencia $(l_1,h_1,...,l_k)$ termina en $p=-C-2k(H-L)+2H$; para $(h_1,l_1,h_2,l_2,...,h_k,l_k)$, termina en $p=C+2k(H-L)$; para $(h_1,l_1,h_2,l_2,...,h_k)$ termina en $p=-C+2(k-1)(H-L)+2H$. Entre todos los caminos de puente Browniano así construidos, cualquier camino que golpee cualquier línea de precio en el conjunto $B=\{H+i(H-L): i\in \mathbf Z\}$ por consecutivamente la segunda vez es eliminado.
Ahora dobla o refleja todo lo construido a lo largo de las líneas de precio de $\{H+i(H-L): i\in \mathbf Z\}$. Los caminos así formados son los que se requieren.
