Concavidad de la función de utilidad de Cobb-Douglas en un conjunto no abierto

Question

Mi libro de texto argumenta que la función de utilidad Cobb-Douglas $u=(x1)^a(x2)^b$ con $a,b>0$ y $a+b<1$ es cóncava en $R2+$ al calcular el Hessiano y mostrar que es semidefinido negativo para todos los puntos en $R2+$.

Sin embargo, siento que este método es falto porque $R2+$ no es un conjunto abierto. Una función es cóncava en el conjunto $A$ si y solo si su Hessiano es semidefinido negativo para todos los $x$ en $A$, pero la suposición es que $A$ es un conjunto abierto y convexo. Esto no se cumple, por lo que la metodología anterior parece estar equivocada. ¡Estoy confundido acerca de esto, así que realmente apreciaría algo de ayuda por favor!

Para referencia, el libro de texto que estoy utilizando es este: https://mjo.osborne.economics.utoronto.ca/index.php/tutorial/index/1/cvn/t

Answer 1

Supongo que la notación $\mathbb R^2_+$ se refiere a $[0,\infty)^2$.

Nótese que el conjunto en el que una función está definida no necesariamente tiene que ser el mismo conjunto en el que una función es diferenciable. En particular, es típico que los requisitos de diferenciabilidad se impongan en conjuntos abiertos (ver, por ejemplo, el teorema fundamental del cálculo). Esto se debe a que definir la diferenciabilidad en puntos de la frontera requiere cuidado adicional que generalmente no es necesario para el problema en cuestión (como definir la concavidad de una función a través de la matriz Hessiana).

La función Cobb-Douglas está definida en $\mathbb R^2_+=[0,\infty)^2$, (también es continua en ese dominio), y es diferenciable en $(0,\infty)^2$, que es abierto y convexo.