Estoy recibiendo algunos "resultados extraños". Me parece que en el CES, con corto plazo de capital fijo y de la elasticidad de sustitución menor que uno, es óptima para las empresas de alquiler de cero trabajo infantil, lo cual parece extraño con la idea de que el producto marginal del trabajo es siempre positivo (excepto en el caso extremo de Leontief, donde $\rho = -\infty$).
Suponga que una simple función de producción CES:
$$Y = \left( \alpha L^{\rho} + (1-\alpha)K^{\rho} \derecho)^{\frac{1}{\rho}}$$
Supongamos que el capital es fijo en el corto plazo, por lo que la empresa sólo optimiza más de $L$. Es importante destacar que, la empresa debe pagar el costo de capital de todos modos. Por lo tanto, $p>0$, la empresa es siempre mejor por la producción de algo. Por lo tanto, la pregunta clave es cuánto trabajo a contratar.
En virtud de la competencia en los mercados óptima de trabajo proviene de:
\begin{ecuación} \frac{\partial Y}{\partial L} \equiv \alpha^{\rho} \left(\frac{Y^*}{L^*}\derecho)^{1-\rho} = \left(\frac{w}{p}\derecho) \end{ecuación}
Es importante destacar que, el aviso de que la MPL (i) es siempre positivo, (ii) por $\rho<1$ (incluyendo valores negativos) e $L^*=0$, es infinito!. En otras palabras, siempre hay imperfecto de sustitución de factores, y la tasa de salario no es infinito, se quiere producir con algo de trabajo.
La sustitución de salida en la anterior, los rendimientos de una sola ecuación con solo desconocido ($L_i^*$), cuya solución es:
$$ L^* = K \Omega^{\frac{1}{\rho}} $$
donde
$$ \Omega = \left(\dfrac{(1-\alpha)}{\left(\frac{w}{p \alpha}\derecho)^{\frac{\rho}{1-\rho}}-\alpha}\right) $$
Ahora, descartar la parameterisations donde $\Omega<0$. Estas son las soluciones de esquina donde $L^*=0$.
Hasta ahora tan bueno. Excepto por alguna extraña resultado cuando $\rho<0$. Para ver esto, vamos a reemplazar óptimo de trabajo en la función de producción. Después de algunos reordenando, se obtiene:
$$ Y^* = AK\left(\alpha\Omega + (1-\alpha)\derecho)^{\frac{1}{\rho}} $$
Ahora, comparar esto con el caso de cero trabajo. Llamamos a este $Y_0$. Aquí, la salida es:
$$ Y_0 = AK(1-\alpha)^{\frac{1}{\rho}} $$
Ahora, queremos saber bajo que en la parametrización de la empresa es mejor producir con cero trabajo. Ganancias óptimas de trabajo y con cero trabajo son, respectivamente:
$$ \pi = pY^* - rK - wL^* $$
$$ \pi_0 = pY_0 - rK $$
Por lo tanto, la empresa producirá sin trabajo iff $\pi_0> \pi$, que es:
$$ wL^* > p(Y-Y_0) $$
Por lo tanto, si los costes de mano de obra no compensan las ganancias, la empresa elegirá $L^*=0$. Aquí es donde surge el problema: por $\rho<0$, $Y-Y_0$ es siempre negativo! Que significa que la empresa va a producir con cero trabajo.
Para ver esto, vamos a encontrar las condiciones bajo las cuales $\Delta Y=Y-Y_0<0$. Esto es,
$$ AK\left[\left( \alpha \Omega + (1-\alpha)\derecho)^{\frac{1}{\rho}} - (1-\alpha)^{\frac{1}{\rho}} \derecho] <0 $$
$$ \left( \alpha \Omega + (1-\alpha)\derecho)^{\frac{1}{\rho}} < (1-\alpha)^{\frac{1}{\rho}} $$
Tomando nota de que $\rho<0$ invertir los componentes, se obtiene:
$$ \frac{1}{\left( \alpha \Omega + (1-\alpha)\derecho)} < \frac{1}{1-\alpha} $$
Lo que es claramente cierto para:
$$ 0< \alpha\Omega $$
Así, para el "normal" parameterisations donde $\Omega>0$, podemos ver que $Y-Y_0<0$ siempre es cierto.
Me han confirmado que esta en R. El siguiente código produce delta en la salida = -15:
rm(list=ls())
rho <- -0.5
alpha <- .6
A <- 1
p <- 1
w <- 0.7
K <- 2.756729
omega = (1-alpha)/((w/(alpha*A*p))^(rho/(1-rho))-alpha)
L = K*omega^(1/rho)
ll = alpha*L^rho
kk = (1-alpha)*K^rho
tr = (1/rho)
Y = A*(ll+kk)^tr
Y0 = A*(kk)^tr
delta_output = Y-Y0
delta_profits = p*(Y-Y0)-w*L
si me cambio de $\rho$ a 0.5, se obtiene el resultado deseado (que el trabajo no aumenta la producción).
También puede ver el gráfico de delta salida de aquí. Está claro que la delta de salida es siempre negativo, y asintóticamente a cero para $x=\infty$, que es cuando $L^*=0$.
