Fórmula de déficit esperado en términos de P

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria continua y $Q_x$ es la función cuantil asociada. Demuestre que el déficit esperado $ES_X[p]$ en el nivel de confianza $p$ que se define como
$$ES_X[p]=\Bbb E[X|X\leq Q_x(1-p)]$$ tiene la representación $$ES_X[p]=\frac{1}{1-p}\int_0^{1-p} Q_x(a)da.$$

¿Puede alguien darme una pista para esto?

Conozco la definición de función cuantílica $Q_X(p)=\inf\{x: F_x \geq p\}$ Puedo pensar en ello a un nivel intuitivo, pero quiero algunas ideas para empezar matemáticamente

Answer 1

La respuesta de Gordon es acertada. Sin embargo, otra forma de verlo sería utilizando la fórmula de Bayes y un cambio de variable.

\begin{align*} ES_X(p) &=E\left(X \mid X\le Q_X(1-p)\right)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} x\, \phi\left(x \mid x\le Q_X(1-p)\right) dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} x\, \frac{\phi\left(x\le Q_X(1-p) \mid x \right)\phi(x)}{\int_{-\infty}^{\infty} \phi\left(u\le Q_X(1-p) \mid u \right)\phi(u) du } dx \end{align*} Ahora sólo hay que tener en cuenta que $$\phi\left(x \le Q_X(1-p) \mid x \right) = 1\left\{ x \le Q_X(1-p) \right\} $$ para poder reescribir la integral como en la segunda línea de la respuesta de Gordon \begin{align*} ES_X(p) &= \frac{E\left(X\, 1_{X\le Q_X(1-p)} \right)}{P(X\le Q_X(1-p))} \\ &= \frac{1}{1-p} \int_{-\infty}^{Q_X(1-p)} x\, \phi(x) dx \end{align*} un cambio de variable $x \to y=\Phi(x)$ (la fdc de $X$ ) termina la demostración.

Answer 2

Tenga en cuenta que $Q_X$ es el pseudoinverso de la función de distribución $F$ y para cualquier variable aleatoria uniforme $U$ en $[0, 1]$ la variable aleatoria $Q_X(U)$ tiene la misma distribución que $X$ . Además, como $X$ es continua, $Q_X$ es estrictamente creciente. Las pruebas de estos hechos son puramente matemáticas, y se pueden discutir algunas otras cuestiones.

Aquí, asumimos que estos hechos son verdaderos. Entonces \begin{align*} ES_X(p) &=E\left(X \mid X\le Q_X(1-p)\right)\\ &=\frac{E\left(X\, 1_{X\le Q_X(1-p)} \right)}{P(X\le Q_X(1-p))}\\ &=\frac{E\left(Q_X(U)\, 1_{Q_X(U)\le Q_X(1-p)} \right)}{P(Q_X(U)\le Q_X(1-p))}\\ &=\frac{E\left(Q_X(U)\, 1_{U\le 1-p} \right)}{P(U\le 1-p)}\\ &=\frac{1}{1-p}\int_0^{1-p} Q_X(a) da. \end{align*}