¿Cómo se obtiene el precio de una opción para un activo con esta dinámica?

Question

Suponiendo que el precio de mi activo subrayado siga el proceso:

$$d\ln (F_{t,T})=-(1/2)\sigma ^2e^{-2\lambda(T-t)}dt+\sigma e^{-\lambda(T-t)}dB_t $$

¿Cómo debo obtener la fórmula del precio de la opción?

Answer 1

Para $0 < T_0\le T$ Considere la opción con pago, al vencimiento de la opción $T_0$ de la forma \begin{align*} \max(F_{T_0, T}-K, \, 0).\tag{1} \end{align*} Tenga en cuenta que \begin{align*} F_{T_0, T} &= F_{0, T}\exp\left(-\frac{\sigma^2}{2}\int_0^{T_0} e^{-2\lambda (T-t)} dt+\sigma \int_0^{T_0}e^{-\lambda (T-t)} dB_t\right). \end{align*} Dejemos que \begin{align*} \hat{\sigma}^2 &= \frac{\sigma^2}{T_0}\int_0^{T_0} e^{-2\lambda (T-t)} dt\\ &=\frac{e^{-2\lambda T}\sigma^2}{2\lambda T_0}\left(e^{2\lambda T_0} -1\right). \end{align*} Entonces, en la distribución, \begin{align*} F_{T_0, T} = F_{0, T}\exp\left(-\frac{\hat{\sigma}^2}{2} T_0 + \hat{\sigma} \sqrt{T_0} Z\right), \end{align*} donde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar. El valor de Payoff $(1)$ viene dada ahora por \begin{align*} e^{-r T_0}\Big[F_{0, T}\Phi(d_1) - K\Phi(d_2) \Big], \end{align*} donde \begin{align*} d_1 &= \frac{\ln \frac{F_{0, T}}{K} + \frac{\hat{\sigma}^2}{2} T_0}{\hat{\sigma} \sqrt{T_0}},\\ d_2 &= d_1 - \hat{\sigma} \sqrt{T_0}, \end{align*} y $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar.