Integración para calcular el valor esperado de swap de tasa de

Question

En Hagan su papel en la valoración de la CMS swaps (Convexidad Enigmas: los Precios de la CMS Swaps, Caps, y Suelos), hay:

Así que el swap de tasa debe ser también una Martingala, y

$$E \big[ R_s(\tau) \big| \mathcal{F}_0 \big]=R_s(0) = R_s^0$$

Para completar la fijación de precios, se tiene que invocar a un modelo matemático (Negro modelo de Heston del modelo, el SABR modelo . . . ) ¿para $R_s(\tau)$ se distribuye alrededor de su valor medio $R_s^0$. En Negro del modelo, por ejemplo, el swap de tasa se distribuye de acuerdo a

$$R_s(\tau) = R_s(0)e^{\sigma x\sqrt{\tau}-\frac{1}{2}\sigma^2\tau}$$

donde x es una variable normal con media cero y varianza la unidad. Uno completa la fijación de precios mediante la integración para calcular el valor esperado.

Y él se detuvo aquí. Así que estoy tratando de "completar la fijación de precios por la integración", pero no estoy seguro de lo que realmente significaba. Yo creo que él sólo quiere obtener el swap de tasa de $R_s(0)$, pero no estoy seguro.

Esta integración podría dar lugar a:

$$ R_s(0) = E \big[ R_s(\tau) \big| \mathcal{F}_0 \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} R_s(\tau) \frac{-\frac{x^2}{2}}{\sqrt{2\pi}}dx = \int_{-\infty}^{+\infty} R_s(0)e^{\sigma\sqrt{\tau}x-\frac{1}{2}\sigma^2\tau} \frac{-\frac{x^2}{2}}{\sqrt{2\pi}}dx $$

Esto no tiene sentido, desde $R_s(0)$ es en ambos lados de la ecuación. Tal vez no estoy mirando de la manera correcta, y él quería algo más. O tal vez mi integración está mal.

Estoy un poco perdido aquí. Se agradece cualquier ayuda para entender cómo "completar esta lista de precios".

Answer 1

Él significaba para el cálculo de la swaption precio dado por (2.4 a), que es, \begin{align*} V_{opt} = L_0 E\left((R_s(\tau)-R_{fix})^+ \mid \mathcal{F}_0 \derecho). \end{align*} Bajo el intercambio de medida (es decir, con $L_t$ como el numeraire), el swap de tasa de proceso de $\{R_s(t), t \ge 0\}$ es una martingala, y se supone que ser de la forma \begin{align*} R_s(\tau) = R_s^0 e^{\sigma X \sqrt{\tau} -\frac{1}{2}\sigma^2\tau }, \end{align*} donde $X$ es una variable aleatoria normal estándar. Entonces \begin{align*} V_{opt} &= L_0\int_{-\infty}^{\infty}\left(R_s^0 e^{\sigma x \sqrt{\tau} -\frac{1}{2}\sigma^2\tau }-R_{fix} \derecho)^+ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ &=L_0\big[R_s^0 N(d_1) - R_{fix} N(d_2) \big], \end{align*} donde \begin{align*} d_1 = \frac{\ln \frac{R_s^0}{R_{fix}}+\frac{1}{2}\sigma^2 \tau}{\sigma \sqrt{\tau}}, \end{align*} y \begin{align*} d_2 = d_1 -\sigma \sqrt{\tau}. \end{align*}

Answer 2

Recordemos la definición de una Martingala primera: es un proceso estocástico $X(t)$ que tiene la siguiente propiedad: deja de $0 \leq t < T$ dos números reales. Deje que $\mathcal{F}_t$ ser una filtración para el proceso de $X$ en vez de $t$. Tenemos entonces:

$$ \mathbb{E}[X(T)|\mathcal{F}_t] = X(t) $$

Ahora, si usas Negro del modelo, que describe el precio del activo mediante un movimiento Browniano geométrico. Esta es no es una martingala. Vamos a estudiarlo un poco más:

$$ S(t) = S_0 \exp{(\sigma \sqrt{t} W(t) - \frac{1}{2}\sigma^2 t)} $$

Si usted piensa que el logaritmo de este proceso, tendrás que sigue una ley normal de media $\ln S_0 - \frac{1}{2}\sigma^2$ y variación $\sigma^2 t$. Yendo un poco más en el cálculo se puede establecer que tiene la propiedad de Markov, pero esto no es una martingala.