Intercambio de expectativa operador con operador diferencial

Question

Supongamos que tengo un general SDE

$dx_{t} = \mu dt + \sigma dz_{t}$

Entonces puedo poner $E[]$ en ambos lados para obtener

$E[dx_{t}] = E[\mu dt] + E[\sigma dz_{t}]$

Ahora viene la pregunta: he visto algunas de las fórmulas donde

$E[dx_{t}]$ hace $dE[x_{t}]$

Es bien permuta $E[.]$ con $d[.]$?

Gracias.

Answer 1

Recuerde que $dx_t = \mu_t dt + \sigma_t dz_t$ está a sólo un corto notación para $$ x_t = x_0 + \int_0^t \mu_s ds + \int_0^t \sigma_s dz_s $$

Ahora, bajo la leve hyopthesis en $\sigma$ la integral estocástica es una martingala por lo que $E[\int_0^t \sigma_s dz_s] = E[\int_0^0 \sigma_s dz_s] = 0$. Nos quedamos con $$ E[x_t] = x_0 + E[\int_0^t \mu_s ds] = x_0 + \int_0^t E[\mu_s] ds $$ por el teorema de Fubini.

Por lo que $dE[x_t] = E[\mu_t] dt$. Esto justifica la escritura $dE[x_t] = E[dx_t]$.