Defina $q(t)$ como el logaritmo del precio menos una tendencia lineal
$$ q(t) = \ln P(t) - \mu t $$
Supongamos que el proceso del precio logarítmico = Ecuación 1: $$ dq(t) = - \Theta q(t) dt + \sigma dW(t) $$
¿Puedes demostrar que la solución de la ecuación 1 es: $$ \ln P(t+h) - \ln P(t) = \mu h + (\exp(-h \Theta) - 1) \ln P(t) + \sigma \int_t^{t+h} \exp(-\Theta(t-u))dW_u $$
Por aplicación del lema de Ito , tenemos $$d\left(q(t)e^{\Theta\,t}\right)=\Theta \,q(t)e^{\Theta\,t}dt+e^{\Theta\,t}dq(t)+0$$ entonces $$d\left(q(t)e^{\Theta\,t}\right)=\sigma e^{\Theta\,t}dW_t$$ En otras palabras $$q(t+h)e^{\Theta\,(t+h)}-q(t)e^{\Theta\,t}=\sigma\int_{t}^{t+h}e^{\Theta\,u}dW_u\Rightarrow$$ $$q(t+h)-q(t)=\left(e^{-h\Theta}-1\right)q(t)+\sigma\int_{t}^{t+h}e^{-\Theta\,(t+h-u)}dW_u$$ Sustituyendo $\ln P(t)-\mu\,t$ a la última ecuación , tenemos $$ \ln P(t+h) -\ln P(t) =\mu h+\left(e^{-h\Theta}-1\right)(\ln P(t)-\mu t) + \sigma\int_{t}^{t+h}e^{-\Theta\,(t+h-u)}dW_u $$
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Cambió el término $\int^t_{t+h} \exp(-\Theta(t-u)dW_u)$ a $\int_t^{t+h} \exp(-\Theta(t-u))dW_u$ según el documento original.