Derivada parcial de Ito integral sin la regla del producto

Question

Estoy pensando en el problema de la derivación de los diferenciales estocásticas de una integral con el tiempo y el estado de parte de el integrando, pero no de una manera que usted puede fácilmente factor a cabo - por ejemplo yo quiero derivar la derivada parcial con respecto a $t$ de

$\int_0^t e^{tX_s}X_s dB_s$

o similar. En el caso de que el integrando $f(t, X_t)$ puede ser representado como un producto de estado y el tiempo que puedo usar integración por partes a veces, pero hay una manera general para trabajar con estos tipos de problemas?

Edit: Antes de que la sugerencia viene, yo también quiero cerrar el caso de que me podría sustituir a una función que podía, a continuación, abordar el ingenio de las reglas producto de la diferenciación.

Answer 1

Hay una manera sencilla de transformar $dB_t$ a $dt$ en el caso de que su $X_t$ es la función del movimiento browniano. vamos a calcular por ejemplo: $$\int^T_0e^{otc}dB_t$$ Aquí es mi manera de hacerlo:

1. Reemplazar Bt por x en la función dentro de la integral, por lo que la función se convierte en: $e^{tx}$.
2. Calcular la primitiva de la función con respecto a x: $\int e^{tx}dx=\frac{e^{tx}}{t}$.
3. Reemplace $x$ por $B_t$ en la primitiva, a continuación, utilizar ito lamma y de su hacer: $$d\frac{e^{tB_t}}{t}=\frac{B_te^{tB_t}-e^{tB_t}}{t^2}dt+e^{tB_t}dB_t+\frac{1}{2}te^{tB_t}dt$$ $$e^{tB_t}dB_t=d\frac{e^{tB_t}}{t}-(\frac{B_te^{tB_t}-e^{tB_t}}{t^2}+\frac{1}{2}te^{tB_t})dt$$

Answer 2

Creo que aquí sólo se puede diferenciar. La variable $t$ aparece dos veces en la expresión: como el límite de la integración y en el interior el integrando. Usted obtiene un término de la derivada parcial de cada una de estas ocurrencias. Es decir, $$ \frac{d}{dt} \int_0^t e^{t X_s} X_s dB_s = e^{t X_t} X_t dB_t + \int_0^t e^{t X_s} X_s^2 dB_s . $$