Irrelevancia de la deriva en datos de alta frecuencia

Question

Supongamos que el precio de un determinado activo sigue un proceso Semimartingale Browniano con un término de deriva y una parte continua Browniana (sin saltos por simplicidad). En la literatura a menudo se afirma que en los datos de alta frecuencia (es decir, del orden de segundos o incluso ticks) la deriva se vuelve irrelevante tanto económica como estadísticamente (por lo que podemos asumir con seguridad que hacerla igual a cero tendrá casi ningún impacto en nuestro análisis). Aunque entiendo la idea, me gustaría tener algún tipo de prueba formal de esta afirmación, o al menos alguna evidencia empírica sólida.

Answer 1

Esto no es en absoluto una prueba rigurosa, pero creo que puede ayudar.

Supongamos un movimiento browniano en condiciones normales.

$dX_t = \mu X_tdt + \sigma X_tdW_t$

La deriva $\mu$ y volatilidad $\sigma$ son constantes para cada paso temporal. Supongamos ahora que nos "acercamos" a un paso de tiempo más pequeño $s = t/2$ . Nuestra parte de deriva de la ecuación va a $\frac{\mu}{2}$ mientras que nuestra volatilidad va a $\frac{\sigma}{\sqrt{2}}$

Si seguimos este patrón, veremos rápidamente que nuestra parte de deriva de la ecuación GBM disminuye mucho más rápidamente que nuestra parte de volatilidad.

Así que en un año hay 3153600 segundos. Si calculáramos nuestra deriva y volatilidad basándonos en un año y utilizáramos segundos como paso temporal, nuestra media sería $\frac{1}{3153600}$ tan grande mientras que nuestra volatilidad sería $\frac{1}{1775.83}$ tan grande.