¿Por qué es correcto este ejemplo de delta-hedging/P&L en una llamada de swap de varianza?

Question

Estoy investigando este artículo sobre intercambio de var: http://sbossu.com/docs/VarSwaps.pdf y no estoy seguro de cómo interpretar correctamente el Anexo 2.1.1.

"En este ejemplo, un operador de opciones vendió una call de 1 año con un precio de ejercicio al 110% del precio inicial sobre un nocional de 10,000,000 para una volatilidad implícita del 30% y delta-hegeó su posición diariamente. La volatilidad realizada fue del 27,50%, sin embargo, su resultado final en P&L de operaciones es de $150k negativo. Además, podemos ver (Figura a) ....."

¿El P&L de operaciones significa el P&L de delta-heging? Parece que sí, pero

• ¿Por qué el P&L está aumentando constantemente incluso cuando el precio de la acción sube? ¿El operador debería estar perdiendo dinero en el delta hedging porque está corto gamma?
• ¿Por qué comienza en cero? Cuando el operador ha vendido la opción, debería haber comprado la acción y el P&L de operaciones en ese momento era negativo?

Answer 1

Para responder tus preguntas:

¿El trading p&l se refiere al delta-hedging p&l? Sí, en su ejemplo se refiere al pnl delta hedged.

¿Por qué el p&l está aumentando constantemente incluso cuando el precio de las acciones sube? ¿Cómo es que el trader debería estar perdiendo dinero en el delta hedging porque está corto de gamma? Está corto de gamma pero largo de theta. Inicialmente está ganando dinero porque, según su gráfico (el último), al principio cuando las acciones están subiendo, la volatilidad realizada está por debajo del 30%. Su pnl de gamma sería igual al pnl de theta si la volatilidad realizada fuera del 30%. Sin embargo, inicialmente la volatilidad realizada es menor al 30% por lo tanto gana más en su theta de lo que pierde en su gamma.

Esto sigue de la Ecuación Diferencial Parcial de Black Scholes. $\theta + 0.5 \sigma^2 S^2 \gamma + r S \delta - rV = 0$ (tal vez un poco descuidado. se puede derivar esto de una mejor manera con r>0) pero toma r = 0. Entonces verás inmediatamente que $\theta = - 0.5 \sigma^2 \gamma$

¿Por qué empieza desde cero? Cuando el trader ha vendido la opción, ¿no debería haber comprado las acciones y el trading p&l en ese momento era negativo?

Si en el tiempo 0 el valor de cualquier activo es digamos S, y lo compras a S e inmediatamente miras tu pnl entonces compraste a S y puedes vender a S. Por lo tanto tu pnl teórico es 0.