El movimiento browniano - primer paso del tiempo

Question

Puede alguien me apunte a la expresión para el primer paso del tiempo para un movimiento Browniano geométrico proceso X(t) como una función del punto de partida, el umbral, la deriva y la difusión de los parámetros.

Principalmente estoy interesado para procesos con el positivo de la deriva y umbrales que son más altas que el punto de partida.

Sé que este es un estándar de la expresión, sin embargo todos los resultados que he encontrado hasta ahora son específicas de un determinado punto de partida (por ejemplo, X(0) = 0) y/o umbral de 1, y no estoy seguro de cómo generalizar para cualquier estado inicial y el valor de umbral.

Cualquier ayuda sería muy apreciada

Gracias

Answer 1

Trabajar en el espacio de registro-para deshacerse del punto de partida, luego por la invariancia de BM sólo necesita umbral-X(0) y X(0)=0 es suficiente para trabajar en un primer momento. En la no-deriva caso, la solución también es invariante si se cambia la escala de la difusión y el umbral simultáneamente (Levy dist), por lo tanto, usted puede efectivamente deshacerse de un parámetro (que se puede reducir para el caso de ser =1). En el caso general (IG) se puede imaginar un comportamiento similar que actúa sobre la deriva demasiado (para que un combinado de la deriva y el umbral de escala debe ser "compensada" por uno en la volatilidad), y de nuevo hay que deshacerse de un parámetro, en este caso el umbral.

Answer 2

En el espacio del registro de la solución explícita de la densidad de el primer paso del tiempo es el Inverso de la Distribución Gaussiana. Ver, por ejemplo, http://www.springerreference.com/docs/html/chapterdbid/205395.html o la página de Wikipedia para la distribución. Lo único que debería importar es el intervalo desde el estado inicial hasta el umbral, y que es el parámetro "a" en la forma dada en el enlace de arriba.