Método de diferencias finitas para la fórmula Black-Scholes

Question

Utilizando el método de las diferencias finitas para la Ecuación Diferencial Parcial de Black-Scholes es necesario imponer algunas condiciones de contorno en el borde de la malla, es decir, para una malla en $D=[a,b]\times R^+$ hay que imponer la condición de contorno en $V(a,t)$ y $V(b,t)$ , donde $V(x,t)$ se describe mediante la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes con $x$ y $t$ que representan, respectivamente, el precio subyacente y el plazo de vencimiento del derivado $V$ .

Pregunta: Al imponer esas condiciones de contorno, ¿tiene impacto en la buena propuesta del problema? A partir de las ecuaciones diferenciales parciales no estocásticas, sabemos que la adición de condiciones de contorno puede hacer que el problema de valor inicial esté mal planteado. ¿Existe alguna "regla" para elegir las condiciones de contorno que garantice que el problema esté bien planteado?

Answer 1

Depende del tipo de pago que quieras valorar. Si se trata de una opción de compra, sabe que $V(0,t) = 0$ y $V(x,t) \approx x$ cuando $x \rightarrow +\infty$ por lo que se puede utilizar una condición dirichlet $V(a,t) = 0$ y $V(b,t) = b$ . También puede utilizar una condición lineal $\frac{\partial^2V}{\partial x^2} = 0$ que en la práctica funciona bien para una variedad de pagos. El único caso en el que hay que tener cuidado es cuando se ponen precios a las opciones de barrera, por ejemplo, una opción de subida y bajada, en cuyo caso $b$ se fijará en la barrera y habrá que utilizar la condición dirichlet $V(b,t) = $ pago de la barrera.

Obsérvese que para mejorar la convergencia numérica del esquema es mejor tener coeficientes constantes si delante del $\frac{\partial^2V}{\partial x^2}$ en la EDP cuando se utiliza una malla uniforme, por lo que en el caso de la EDP de Black & Scholes se debe trabajar en $y = \log(x)$ espacio.