Negociación axiomática: Las soluciones de Kalai-Smorodinsky y Nash coinciden

Question

Bajo supuestos estándar sobre el dominio de los problemas de negociación como Optimidad de Pareto, simetría, invariabilidad de escala e independencia de las alternativas irrelevantes / Monotonía individual en el que las condiciones (sobre el conjunto factible S, o el punto de desacuerdo d) que caracterizan el dominio en el que coinciden las soluciones de Kalai-Smorodinsky y Nash ?

Mi idea es que cuando el conjunto factible es simétrico, ambas soluciones deberían coincidir, pero deberían ser otros casos

Answer 1

Otra condición suficiente para que las dos soluciones coincidan, que no es necesariamente lo mismo que la simetría, es que el conjunto factible $S$ sea rectangular. Es decir, \begin{equation} S=\text{convex hull}\{(d_1,d_2),(d_1,\overline x_2),(\overline x_1,d_2),(\overline x_1,\overline x_2)\}, \end{equation} donde $d_i$ es $i$ de la utilidad de la reserva y $\overline x_i$ es $i$ de la mejor utilidad posible de la negociación. Tanto las soluciones de Nash como las de KS están en $(\overline x_1,\overline x_2)$ .

Utilizando la propiedad de que la solución KS puede obtenerse en la intersección de un rayo desde el punto de desacuerdo $d$ y el límite (noreste) del conjunto factible $S$ podemos derivar la siguiente condición necesaria para que las soluciones de KS y Nash coincidan: sea $(x_1^N,x_2^N)$ denotan la solución de Nash al problema de negociación $(S,d)$ la solución KS $(x_1^{KS},x_2^{KS})=(x_1^N,x_2^N)$ sólo si \begin{equation} \frac{x_2^N-d_2}{x_1^N-d_1}=\frac{\overline x_2-d_2}{\overline x_1-d_1}. \end{equation}