Tengo un proceso que: $$dr_t = (W_t^1 - ar_t)dt +\sigma dW_t^2$$ donde $W_t^1$ y $W_t^2$ son browniano movimientos con el instantáneo, el coeficiente de correlación de $\rho$. Quiero mostrar que la solución de este proceso puede ser escrito en un formulario: $$r_t = r_0 e^{-a}+ \int_0^tk(t,s)dW_s^1 + \sigma\int_0^th(t,s)dW_s^2$$. Empecé con la sustitución de $\tilde{r}_t = e^{a}r_t$ lo que me llevó a la solución. $$r_t = r_0 e^{-a}+ \int_0^t e^{a(s-t)}W_s^1ds + \sigma\int_0^te^{a(s-t)}dW_s^2 $$ lo que difiere de la pregunta de la solución en el primer integrando ($ds$ en vez de $dW_s^1$). Pensé que podría utilizar el teorema de Fubini, pero no estoy muy seguro de cómo. Así que, esencialmente, lo que me gustaría saber es cómo demostrar que estas dos soluciones son equivalentes. Gracias por cualquier sugerencia.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
"Pensé que podría utilizar el teorema de Fubini, pero no estoy muy seguro de cómo."
Tenga en cuenta que podemos escribir:
$$ \begin{align} \int_0^t e^{a(s-t)}W^1_s\text{d}s & = \int_0^t e^{a(s-t)}\left(\int_0^s\text{d}W^1_u\derecho)\text{d}s \\[6pt] & = \int_0^t \int_0^se^{a(s-t)}\text{d}W^1_u\text{d}s \end{align}$$
En el Apéndice de Heath et al. (1992) se puede encontrar una bonita declaración de que el estocástico teorema de Fubini, que ellos mismos toman de Ikeda y Watanabe (1981).
Vamos $s \leq T$ con $T \in \mathbb{R}^+$, a continuación definimos la función continua $\phi(s)=e^{a(s-t)}$ para $s \en [0;T]$ $-$ nota de que en nuestro caso la función que sólo depende de una variable por lo tanto para $u \en [0;T]$ tenemos $\phi(s,u)\triangleq\phi(s)$ que hace las cosas más fáciles. La función $\phi(s)$ es bien definida para cualquier valor de $t \in \mathbb{R}$. Por lo tanto:
- La función $\phi(s)$ es determinista así mesurable w.r.t. la filtración generada por $W^1$;
- $\phi(s)$ es claramente cuadrado integrable más de $[0, T]$;
- Para cualquier $\tau \en [0;T]$: $\int_0^T (\int_0^{\tau}\phi(s)\text{d}W^1_u)\text{d}s=\int_0^T \phi(s)(\int_0^{\tau}\text{d}W^1_u)\text{d}s=W_{\tau}^1\int_0^T \phi(s)\text{d}$ s $=cW_{\tau}^1$ por unos $c \in \mathbb{R}$, que es continua en $\tau$ por la propiedad de Movimiento Browniano.
La hipótesis del Lema 0.1 de Heath et al. se cumplen (p.98), por tanto, aplicar el Corolario 2 (p.99):
$$\begin{align} \int_0^t e^{a(s-t)}W^1_s\text{d}s & = \int_0^t \int_0^se^{a(s-t)}\text{d}W^1_u\text{d}s \\[6pt] & = \int_0^t \left(\int_u^te^{a(s-t)}\text{d}s\derecho)\text{d}W^1_u \\[6pt] & = \int_0^t \left(\frac{1-e^{(u-t)}}{a}\derecho)\text{d}W^1_u \end{align}$$
@LocalVolatility comentario da una alternativa de derivación evitar Fubini, aunque creo que el $1/$ debe estar fuera de los paréntesis.
Este es un ligeramente ampliada y corregida (gracias @DaneelOlivaw) versión de mi comentario.
Considere la posibilidad de un proceso $h(t) W_t$, donde $h$ es una función del tiempo. El uso de la Ito producto de la regla, esto puede ser expresado en forma integral como
\begin{ecuación} h(t) W_t = \int_0^t h'(s) W_s \mathrm{d}s + \int_0^t h(s) \mathrm{d}W_s, \end{ecuación}
donde hemos utilizado que $h(0) W_0 = 0$. La coincidencia de términos nos encontramos con que
\begin{ecuación} h'(s) = e^{a (s - t)} \end{ecuación}
y así
\begin{ecuación} h(s) = \frac{1}{a} e^{a (s - t)}. \end{ecuación}
Reorganización de los rendimientos
\begin{eqnarray} \int_0^t e^{a (s - t)} W_s \mathrm{d}s & = & \frac{1}{a} W_t - \frac{1}{a} \int_0^t e^{a (s - t)} \mathrm{d}W_s\\ & = & \frac{1}{a} \int_0^t \left( 1 - e^{a (s - t)} \right) \mathrm{d}W_s. \end{eqnarray}
