Dada la PDE
$$\frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} = 0$$
con la condición de $F(T,x) = x^2$, se puede utilizar la Feynman-Kac fórmula para llegar a
$$F(t,x) = E[X_T^2 | X_t = x] = E[ (X_t \pm \sigma(W_T - W_t))^2 |X_t = x] = x^2 + (T-t)\sigma^2$$
donde $W_t$ es el movimiento Browniano estándar y $X_t$ es el proceso estocástico de satisfacciones, ya sea:
$$dX_t = \pm \sigma dW_t$$
donde $X_t$s y $W_t$'s son en los filtros de probabilidad espacio $(\Omega \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \[0,t]}, \mathbb P)$ donde $\mathscr F_t = \mathscr F_t^W$.
Se supone que debo evaluar
$$E[ (X_t \pm \sigma(W_T - W_t))^2 |X_t]$$
y luego conecte $X_t = x$.
Al parecer, en la evaluación de ejemplo, voy a utilizar la propiedad de Markov para decir que
$$E[ (X_t \pm \sigma(W_T - W_t))^2 |X_t] = E[ (X_t \pm \sigma(W_T - W_t))^2 | \mathscr{F_t}]$$
¿Por qué es exactamente lo que tenemos que utilizar la propiedad de Markov?
Sé que $W_T - W_t$ es independiente de $\mathscr{F_t}$. Creo que $\porque X_t \m \mathscr F_t$, $W_T - W_t$ es independiente también de $X_t$.
Si estoy equivocado, ¿por qué?
Si estoy en lo cierto, ¿por qué es la propiedad de Markov necesario?
El problema parece ser tomada de Bjork del Arbitraje Teoría en Tiempo Continuo. Tengo el problema de mis notas de clase. Ni Bjork ni Wikipedia parece usar la propiedad de Markov
