Heston modelo de cálculos

Question

En la Heston modelo de la dinámica de un solo activo $S$ están dados por:

$dS_t = rS_tdt+S_t \sqrt{V_t}dW^S$

donde $W^s$ es un browniano movimiento $W^S$ y la raíz cuadrada de la varianza proceso $V$ es dada por el SDE:

$dV_t = a(\bar{V}- V_t)dt + \eta \sqrt{V_t}dW_t^V$,

con $un,\bar{V}, \eta$ constantes y $W^V$ ha fijado correlación a $W^S$ igual $\rho$.

Quiero para el cálculo de la esperanza condicional, $E[ V_t | S_t ] $. Mediante la resolución de la SDE para la Varianza de proceso, el problema se reduce a calcular una integral estocástica,

$E [ \int_{0}^{t}...dW_s^V | S_t]$. Alguien tiene alguna idea de cómo calcular eso?

Gracias!

Answer 1

Un truco rápido:

de "Dupire, Una Teoría Unificada de la Volatilidad" tenemos $$E[V_t | S_t] = \sigma_{\text{col}}(S_t, t)^2$$ donde $\sigma_{\text{col}}(S, t)$ es el local de la volatilidad. También tenemos a partir de la fórmula que Dupire $$ \sigma_{\text{col}}(K, T)^2 = \frac{\frac{\partial C}{\partial T}}{\frac{1}{2}K^2\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}} $$ (en el caso de que la deriva y la tasa de interés es cero, de lo contrario hay condiciones adicionales), y por último hay semi-analítica de las fórmulas para el precio $C(K,T)$, basado en la transformada de Fourier como es mencionado por @ James Spencer-Lavan, para la que podrás encontrar un montón de implementaciones. Así que usted tiene todos los ingredientes fácilmente disponibles para su cálculo.