¿Por qué el tipo libre de riesgo debe estar libre de riesgo en la valoración neutral al riesgo?

Question

Estoy leyendo documentación relacionada con los ajustes de valoración de la financiación (FVA) en la que se abordan cuestiones relativas al tipo sin riesgo y la financiación, y me ha venido a la mente la siguiente pregunta: en la teoría de la valoración neutral al riesgo, ¿por qué exigimos que el tipo sin riesgo esté libre de riesgo?

En efecto, supongamos un marco Black-Scholes pero con un tipo de interés libre de riesgo estocástico, cuya dinámica se especifica mediante el modelo Hull-White:

$$ \begin{align} & dS_t = \mu S_tdt + \sigma_S S_tdW_t^{(S)} \\[6pt] & dr_t = (\theta_t-\alpha r_t) dt + \sigma_rdW_t^{(r)} \\[6pt] &dW_t^{(S)}\cdot dW_t^{(r)}=\rho_{S,r}dt \end{align} $$

Tal y como yo lo veo, se supone que el tipo libre de riesgo está libre de riesgo de crédito $-$ De hecho, en un marco de tipos estocásticos, este tipo tiene, no obstante, riesgo de mercado. Sin embargo, En ninguna parte de las especificaciones del modelo anterior aparece el riesgo de crédito Me parece que $(r_t)_{t \geq 0}$ podría representar cualquier proceso de tarificación. Veo 2 situaciones en las que realmente podría tener sentido hablar de un tipo libre de riesgo:

• En el mundo original de Black-Scholes, el tipo sin riesgo está efectivamente libre de riesgo porque es el único proceso que no tiene un componente aleatorio $-$ es constante, por lo que adicionalmente también está libre de mercado riesgo.
• Si estuviéramos modelando los precios de los activos $(S_t)_{t \geq 0}$ con algún componente de salto $-$ para representar por defecto $-$ y el tipo libre de riesgo era el único libre de este riesgo de crédito, entonces parece que también tendría sentido hablar de un tipo libre de riesgo.

En general, me parece que podemos hablar de tipo libre de riesgo cuando el proceso $(r_t)_{t \geq 0}$ carece de un tipo de riesgo que todos los demás activos tienen $-$ riesgo de mercado, riesgo de crédito. Sin embargo, tengo la impresión de que, en la práctica, las dos opciones de modelización anteriores no son habituales: los procesos de salto no se utilizan mucho para la fijación de precios, y los derivados complejos, híbridos y a largo plazo tienden a valorarse con tipos estocásticos, si no me equivoco.

Por lo tanto, parece que $(r_t)_{t \geq 0}$ podría muy bien ser cualquier cosa, por ejemplo y de forma importante, el coste de financiación del coberturista de opciones.

La única característica que se me ocurre de la tasa libre de riesgo que podría justificar su importancia es la suposición de que cualquier participante en el mercado puede prestar y pedir prestado (sin límite) a esa tasa $-$ De ahí que represente una especie de tipo de financiación "medio" o "de mercado", como el Libor, por ejemplo. Pero esto no significa que deba estar libre de riesgo; no justifica el nombre del tipo.

¿Por qué entonces insistir tanto en la sin riesgo parte, ¿por qué el tipo tiene que estar exento de riesgo? ¿No podría el proceso $(r_t)_{t \geq 0}$ ¿representan simplemente el coste de financiación del emisor de la opción? ¿Qué me falta?

P.D. Nótese que no estoy preguntando por qué debería existir un tipo libre de riesgo; más bien, estoy preguntando por qué, en el marco de la valoración neutral al riesgo de las opciones, hemos exigido el tipo "de referencia" con el que descontamos los flujos de caja en la medida de valoración $\mathbb{Q}$ estar libre de riesgos.

Edición 1 : mi pregunta es sobre todo teórica. Desde un punto de vista práctico, pienso que la elección del tipo utilizado para el descuento en virtud de $\mathbb{Q}$ $-$ de ahí a los derivados de precios $-$ está impulsado principalmente por consideraciones financieras Afortunadamente, en un entorno con garantías, estos tipos de financiación (OIS, Fed Funds) resultan ser buenos indicadores de un tipo sin riesgo, por lo que existe una correspondencia entre la teoría y la práctica. $-$ tal vez mi pensamiento / creencia aquí es errónea.

Answer 1

Una respuesta no académica: En el mundo real, cuando los intermediarios o las contrapartes profesionales negocian opciones entre sí, la prima de la opción no se financia mediante préstamos no garantizados del intermediario. Por el contrario, las opciones y otros derivados suelen estar sujetos a acuerdos de garantía en virtud de los cuales se deposita una garantía "segura" para cubrir la exposición entre las contrapartes. Si se deposita una garantía en efectivo, es necesario especificar un tipo de interés sobre el saldo de la garantía. En EE.UU. suele ser el Fed Funds (un tipo casi sin riesgo). Si se depositan bonos del Tesoro, el tipo implícito es el tipo repo del Tesoro (también un tipo casi sin riesgo).

Así pues, los tipos de interés reales asociados a los préstamos y empréstitos sobre derivados, acciones y bonos son, de hecho, en su mayoría tipos garantizados que se asemejan a los tipos sin riesgo.