¿Por qué la definición de la SEÑORA a seguir, desde el teorema de la función implícita?

Question

TREN DE PENSAMIENTO 1:

Por lo que yo entiendo, $MRS$ se calcula como

$$dU = U_x dx + U_y dy =0$$ que por reordenamiento de los rendimientos $$\frac{dy}{dx}= -\frac{U_x}{U_y}$$

Así que supongamos que tengo $$U(x,y) = \ln x +\ln y$$ a Continuación $$ \frac{dy}{dx}= -\frac{1/x}{1/y} = -\frac{y}{x}$$

Bien. Así que tengo una función $y$ en $x$.

TREN DE PENSAMIENTO 2:

Ahora considero mi $U(x,y)$ de nuevo. Deje que $$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$$ y $$U(\mathbf{a})=0$$ Tenemos $$DU(x,y) = \begin{bmatrix} \frac{1}{x} & \frac{1}{y} \end{bmatrix} $$ y $$\frac{\partial U}{\partial y} (\mathbf{a}) = \begin{bmatrix}\frac{1}{y}\end{bmatrix}= 1$$, que es nonsingular desde $\det(1) = 1$ y por tanto, por el Teorema de la Función Implícita, $$U = 0$$ define $y$ implícitamente como una función de la $x$ en un barrio de $\mathbf{a}$.

Mi Pregunta:

¿Cómo son estas dos líneas de pensamiento conectado? La primera se expresa en términos de diferenciales. Pero la segunda no lo es. Así que estoy confundido ¿por qué la definición de $MRS$ se sigue del teorema de la función implícita.

Answer 1

En realidad es bastante sencillo. El teorema de la función implícita para dos variables está dada de la siguiente manera (siempre cierta regularidad condiciones):

Por $F(x, y) = 0$,

$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial y} $

En el caso de la SEÑORA, queremos que el cambio marginal en $x$ asociado con un cambio marginal en $y$ se requiere para mantener un cierto nivel de utilidad, $c$, tales como (convenientemente) $c=0$. Así, comenzando con

$U = U(x, y) = 0$,

tenemos

$\frac{dy}{dx} = -\frac{U_x}{U_y}$

Tenga en cuenta que $c=0$ es sólo una simplificación de la exposición. Para un general $c$, sólo se puede restar de ambos lados de la ecuación y se obtiene el mismo resultado ya que $c$ desaparece en la derivada.

Answer 2

Esta es la intención de ser una respuesta parcial. Espero que más personas conocedoras de respuesta.

Aparte de la afirmación de que $\exists \phi(\mathbf{x}) =\mathbf{y}$ el teorema de la función implícita también afirma

\begin{ecuación} D \phi(\mathbf{x}) = - \left(\frac{\partial U}{\partial \mathbf{y}} \left( \begin{array}{c} x\\ \phi(\mathbf{x}) \\\end{array} \right) \derecho)^{-1}\left( \frac{\partial U}{\partial \mathbf{x}} \left( \begin{array}{c} x\\ \phi(\mathbf{x}) \\\end{array} \right) \derecho) \end{ecuación} en este caso, que corresponde a

$$\frac{d \phi(x)}{dx} = - \left(\frac{1}{y}\derecho)^{-1}\left(\frac{1}{x}\derecho) = -\frac{y}{x}$$ así $$ \frac{dy}{dx}= -\frac{y}{x}$$

Esto muestra que la definición de $MRS$ se sigue del Teorema de la Función Implícita.

EDIT 1:

Considerar $$ dy = - (U_y)^{-1} U_x dx$$ que estamos de acuerdo se sigue del teorema de la función implícita. A continuación, multiplicando ambos lados por $U_y$ y reordenando tenemos

\begin{align*} U_y dy &= -U_x dx \\ U_x dx + U_y dy &= 0 \end{align*} y así, por la definición de un diferencial,

$$ U_x dx + U_y dy = 0 = dU$$

así que esto es también una consecuencia del teorema de la función implícita. Esto también puede ser visto trivialmente desde $U = 0$, entonces por la definición de un diferencial, $dU =0$.