Sé que es una pregunta ingenua, pero ¿cómo es que la fórmula de la BS tiene una solución de forma cerrada? Parece que por lo que estoy leyendo el precio influye en delta, el precio influye en la volatilidad que a su vez influye en delta y gamma. El BS parece ser un modelo endógeno. ¿Es el precio la única variable exógena en el modelo? ¿Cómo se puede encontrar una solución de forma cerrada si todas las variables y están impactando entre sí? Agradezco cualquier consejo sobre la cuestión.
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Markus Olsson
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BS no hace ninguna suposición sobre la existencia o no de variables endógenas. Según el BS, el precio de una opción (opción sobre acciones) puede determinarse a partir de 5(6) variables: Precio del subyacente, volatilidad, strike, tiempo hasta el vencimiento, tipo de interés, dividendos (si procede). Ninguna de ellas se deriva directamente de la otra, sin embargo, se puede argumentar que existen patrones de correlación que se pueden observar especialmente entre los precios de los activos (y sus rendimientos) y la volatilidad. También, obviamente, los intereses son una función del tiempo (algunos modelos incluso afirman que los tipos están compuestos por una función determinista (única función del tiempo)).
Sin embargo, ninguno de esos posibles patrones de causalidad niega la validez del modelo BS. Nadie discute que el modelo BS sea perfecto, adolece de muchos supuestos simplificadores, pero entonces tenga en cuenta que el BS es simplemente una herramienta de traducción entre los precios y la volatilidad y viceversa. Nada más y nada menos. Un operador de opciones no puede ganar dinero simplemente por el conocimiento y la aplicación del modelo BS. El modelo en sí mismo no hace ninguna predicción, no detecta ninguna oportunidad de arbitraje (de hecho, una suposición errónea es que el arbitraje no existe).
En resumen, así que sí hay insumos en el modelo BS que pueden exhibir relaciones de causalidad (endogeneidad), sin embargo, eso no contradice matemáticamente la derivación correcta del BS, dados todos los supuestos realizados.
Por cierto, el artículo de WIKI sobre el BS parte de la suposición errónea de que los dividendos no existen. La extensión es tan trivial que yo seguiría considerándola parte del BS. El modelo de Black también es considerado por la mayoría como una extensión trivial de BS y por lo tanto parte de la familia.
Sólo a modo de apunte: La fórmula BS no es tan cerrado después de todo (por supuesto, todo depende de su definición de forma cerrada ):
$$c(S,K,t,r,\sigma)=$$ $$S\frac{1}{\sqrt{2\pi{}}}\int_{-\infty{}}^{\frac{\ln{\left(\frac{S}{K}\right)}+\left(r+\frac{{\sigma{}}^2}{2}\right)t}{\sigma{}\sqrt{t}}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx-e^{-rt}K\frac{1}{\sqrt{2\pi{}}}\int_{-\infty{}}^{\frac{\ln{\left(\frac{S}{K}\right)}+\left(r-\frac{{\sigma{}}^2}{2}\right)t}{\sigma{}\sqrt{t}}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$$
Así que muchas integrales, logaritmos, raíces cuadradas, fracciones, $e$ 's, $π$ y el infinito aquí y todo tiene que ser evaluado. Lo único que facilita la vida es que estas integrales (distribución normal) aparecen tan a menudo en las matemáticas que obtienen su propia abreviatura, en la que todo se esconde detrás y se llama entonces forma cerrada . Por eso el BS siempre parece tan bonito y sencillo. Solo digo...
