Definiciones de Beta

Question

Definición de Beta

Generalmente se entiende que la beta de un activo $i$ viene dado por el coeficiente de la regresión lineal de los rendimientos de los activos sobre el mercado ( $m$ ) vuelve, es decir $$\beta_i = \frac{\rho\sigma_i\sigma_m }{\sigma_m^2}=\frac {\rho \sigma_i}{\sigma_m}$$ donde $\sigma$ indica la desviación estándar de los rendimientos, que se basa en el modelo lineal en el que $$r_i=\alpha_i+\beta_i \ r_m$$ que al reordenarse da como resultado $$\beta_i=\frac {r_i-\alpha_i}{r_m}\tag{1}$$

Ver artículo de la wiki aquí .

Utilización en el CAPM

Esta beta se utiliza entonces en la conocida fórmula CAPM para la rentabilidad esperada o el coste de los fondos propios, es decir $$r_i=r_f+\beta_i(r_m-r_f)$$ ( $r_f$ siendo la tasa libre de riesgo) que al reordenarse da $$\beta_i=\frac {r_i-r_f}{r_m-r_f}\tag{2}$$

Pregunta

¿Cómo podemos conciliar $(1)$ y $(2)$ ?

Answer 1

Estoy ligeramente en desacuerdo con el comentario de Alex. El CAPM hace no léase como \begin{align*} r_{i,t} = r_{f,t}+ \beta_{i,t} (r_{m,t}-r_f) + \varepsilon_{i,t}. \end{align*} Hay una diferencia importante entre el modelo de índice único (también conocido como modelo de mercado) (SIM) que se lee como \begin{align*} r_{i,t} = \alpha_{i,t} + \beta_{i,t}(r_{m,t}-r_{f,t}) + \varepsilon_{i,t} \end{align*} y el modelo de fijación de precios de los activos de capital (CAPM) que se lee como \begin{align*} \mathbb{E}_t[r_{i,t}] - r_{f,t} &= \frac{\mathbb{C}\text{ov}_t(r_{i,t+1},r_{m,t+1})}{\mathbb{V}\text{ar}_t[r_{i,t+1}]} \cdot (\mathbb{E}_t[r_{m,t+1}]-r_{f,t}) \\ &= \beta_{i,t} \cdot (\mathbb{E}_t[r_{m,t+1}]-r_{f,t}). \end{align*}

(Los subíndices indican que el condicional se refiere a la expectativa/varianza/covarianza). Así pues, el CAPM es un modelo de valoración de activos de equilibrio sobre los rendimientos esperados que puede derivarse, por ejemplo, de un marco de factor de descuento estocástico (SDF), suponiendo que el SDF es lineal en el rendimiento del mercado. En En particular, no hay ningún componente de riesgo idiosincrático $\varepsilon_{i,t}$ .

Se puede ver inmediatamente cómo las dos ecuaciones del CAPM concuerdan con las ecuaciones que has citado: El CAPM asume el exceso esperado de cualquier activo es proporcional al exceso de rentabilidad esperada de la cartera de mercado (cartera cartera ponderada de todo activos), es decir $\alpha_{i,t}=r_{f,t}$ .

El SIM es pura y simplemente un modelo estadístico que hace una regresión de los rendimientos históricos contra los de algún factor (puede ser una cartera que imite a la del mercado, pero puede ser cualquier otro factor que se cree que impulsa los rendimientos). Mediante una regresión OLS estándar del modelo SIM, el coeficiente $\beta_{i,t}$ se estima que es $\frac{\mathbb{C}\text{ov}(r_{i,t},r_{m,t})}{\mathbb{V}\text{ar}[r_{i,t}]}$ . Por lo tanto, la SIM puede utilizarse para probar el CAPM empíricamente (es decir, si el CAPM fuera cierto, encontraríamos $\alpha$ que no sea estadísticamente diferente de cero, etc.), pero no debe confundirse con el CAPM. De hecho, las pruebas empíricas plantean fuertes dudas de que el CAPM sea un buen modelo.

Answer 2

Consulte cualquier libro de texto de econometría (si es capaz de tomar un sedante no farmacéutico). Obtendrá cientos de páginas llenas de ecuaciones con betas: algunas con sombreros, otras con estrellas, otras con estrellas y sombreros. "Beta" es la abreviatura convencional de un coeficiente de regresión.

Así, si un cambio del 1% en el rendimiento de los bonos, por ejemplo, se asocia a un cambio del X% en los precios de las acciones, eso es una beta.

El CAPM no es más que un caso especial, en el que se argumenta que el exceso de rendimiento justo (es decir, el rendimiento menos el efectivo) de cualquier activo debería ser proporcional a su riesgo no diversificable. Es un argumento intuitivo, que cumple con un montón de casillas de la teoría económica. Pero que se parezca a la realidad del mercado y a sus resultados es otra cosa.

Supongamos que sí; y es sólo una aplicación de la familia de las betas que la teoría dice que debería ser relevante. Pero es sólo una de las muchas betas que existen y que, según la teoría, deberían ser relevantes para las valoraciones de los activos.

Answer 3

Las dos betas son diferentes. La beta en (2) es la beta del CAPM, la beta en (1) es un coeficiente de la regresión lineal, no una beta del CAPM.

Para más información, consulte El CAPM no es un modelo transversal ni un modelo de series temporales