Cómo diseño de pruebas (validación) para la modificación de dichos Vasicek modelo?

Question

Considere la posibilidad de un clásico de Black Scholes modelo ,

$$\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dW$$ donde $dW$ es un movimiento Browniano, que $W(t_1) - W(t_0) \sim N(0, t_1 - t_0)$.

La parte de atrás-estrategia de pruebas es sencillo: una Vez que $\mu$ y $\sigma$ es reconocido a partir de las muestras, $dS / S_t \sim N(\mu \cdot dt, \sigma^2 dt)$. Así que de vuelta-las pruebas de que el modelo se convierte en la prueba de hipótesis de una distribución normal de media y desviación estándar.

Sin embargo, yo estoy saliendo con una versión modificada del modelo de Vasicek:

$$dr_t = a(b-r_t)dt + (c + d \cdot r_t) dW$$

Esto modifica el original modelo de Vasicek: $dr_t = a(b-r_t)dt + \sigma dW$ como me aviso de las muestras muestra variante en el tiempo $\sigma(t)$ que tiene una fuerte correlación lineal con $r_t$.

Ahora, ¿cómo podría el diseño de la parte posterior de pruebas para validar mi modelo?

Pensé que a la prueba de back-el $a$ y $b$ en primer lugar, al menos, $$E[dr_t + a \cdot r_t dt] = a \cdot b \cdot dt$$ este es una constante.

Pero $dr_t + a \cdot dt$ 's la desviación estándar no es constante, estoy perdido cómo establecer la prueba de las Hipótesis del criterio! Dejando solos de cómo realizar una prueba de los $c$ y $d$ parte?

Answer 1

Su SDE no tiene forma cerrada de la solución, así que tendrás que aplicar el método de Euler para obtener un aproximado de la terminal de distribución. Una vez que tenga el terminal de distribuciones, en cualquier momento de la serie se desea validar tiene una muy multivariante de densidad de probabilidad (debido al hecho de que cada día los datos proceden de una manera ligeramente diferente de la distribución).

Usted puede transformar a éste en el espacio normal mediante la formación de las puntuaciones z de cada punto de datos. Prueba de hipótesis que ahora se convierte en un ejercicio trivial en los z-scores derivadas de la norma de gauss.