¿Cómo es posible que el proceso de Wiener no sea diferenciable en ninguna parte pero siga siendo continuo?

Question

Estoy tomando una clase de derivados financieros (el libro que usamos es la teoría del arbitraje en tiempo continuo de Tomas Bjork) pero no puedo entender el significado exacto de cómo se define el proceso de Wiener. En el libro se puede leer: "el proceso de Wiener será una función continua del tiempo que es no diferenciable en cada punto. Esta una trayectoria típica es una curva continua que consiste enteramente en ángulos y, por supuesto, es bastante imposible dibujar una figura de tal objeto". Sólo con mirar una trayectoria de un proceso de Wiener diré que no es diferenciable en ningún punto y por lo tanto no es suave ni continua pero aquí dice que sigue siendo continua?

Answer 1

Piensa en el proceso de Wiener como una curva en la que podrías hacer un zoom cada vez más profundo y seguiría siendo completamente ondulada (= un fractal). Esto significa que incluso si se intentara poner una línea tangente en ella, no encontraría un soporte estable (= no diferenciabilidad) - sin embargo, toda la curva es completamente cerrada, es decir, podría ser dibujada sin levantar el lápiz (= continuidad):

(Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process )

Answer 2

Hay muchos ejemplos de curvas "no aleatorias" que son continuas en todas partes y, sin embargo, no son diferenciables en ninguna. Por ejemplo, la definida por la fórmula $$ f(x) = \sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\cos(2^kx). $$ Puedes pensar en ello como un límite de sumas parciales $f_n(x) =\sum_{k=0}^n 2^{-k}\cos(2^kx)$ . Cada $f_n$ es diferenciable, y consiste en una combinación de sinusoides con diferente frecuencia y magnitud. Como $n\to\infty$ cada vez hay más frecuencias, lo que hace que las líneas tangentes (muy relacionadas con la diferenciabilidad) se comporten cada vez peor. En el límite, no hay ningún punto que admita una recta tangente.

Answer 3

La comprensión más básica de la continuidad de la curva es:

Se puede dibujar con un bolígrafo/lápiz sin levantar la mano. Así, la curva no tiene saltos que le obliguen a levantar/desplazar la palma de la mano para para seguir dibujando.

La función $f(x)=|x|$ es continua pero no diferenciable en el origen. Si se consultan las entradas pertinentes de la Wikipedia sobre continuidad y diferenciabilidad, la diferencia quedará clara.

También hay que tener en cuenta que la continuidad del movimiento browniano es la principal razón por la que la cobertura en tiempo continuo funciona tan bien en teoría. Si se introducen saltos, haciendo que las trayectorias dejen de ser continuas, la teoría se vuelve mucho más elaborada y complicada.

Answer 4

Sé que esta respuesta es años más tarde pero por si alguien busca esto, espero poder ayudar.

Puedo repasar todas las pruebas matemáticas, pero en su lugar intentaré dar alguna intuición.

A modo de antecedente, las funciones no diferenciables en ningún punto pero continuas en todos los puntos fueron descubiertas por primera vez por Karl Weierstrass. Si le cuesta entenderlo, está en buena compañía. Incluso otros matemáticos famosos las describieron: Poincare las llamó "monstruos", Hermite las calificó de "azote lamentable". La intuición decía que si la función fuera continua sólo sería indiferenciable en pequeñas partes del dominio.

Pero las ideas básicas son:

Una función es continua en un punto si estar "cerca" del punto significa que el valor de la función está cerca; f(x) es continua en X si que x esté cerca de X implica que f(x) está cerca de f(X).

Una función es diferenciable en un punto no sólo si está "cerca", sino que los puntos cercanos tienen que acercarse a una velocidad uniforme; la velocidad es la derivada de la posición. Ser diferenciable implica ser continua.

Así que f(x) = valor absoluto de x es continua en x = 0; f(0) también es 0; estar cerca de x=0 significa que f(x) también está cerca de 0. Pero esta función no es diferenciable en x=0, ya que al acercarse a 0 por la derecha entra con una "velocidad" de 1 pero por la izquierda es -1.

Entonces, ¿qué ocurre con el movimiento browniano? El resultado es bastante intuitivo: en cada punto "salta" con un valor de una normal estándar. Seguirá siendo continua, porque el pequeño intervalo es suficiente para mantenerla "cerca" del último punto - el "salto" multiplicado por el intervalo infinitesimal es lo suficientemente pequeño para que la función se mantenga "cerca". Sin embargo, no es diferenciable, porque el tamaño del último "salto" (a la izquierda de la gráfica) no será el mismo que el del lado derecho, por lo que no se aproxima a la misma velocidad; en cualquier intervalo, habrá muchas "velocidades" diferentes.

Ahora, para ser un poco más rigurosos, el movimiento browniano es no diferenciable en cada punto CASI SEGURO y continuo CASI SEGURO; sin ponernos demasiado técnicos, esto significa que ocurre con probabilidad uno (pero puede fallar en un conjunto de medida 0).