¿Cuál es la explicación de la fórmula de la volatilidad de una acción / volatilidad del compuesto continuamente de retorno de una acción?

Question

Yo soy la auto-estudiando para un examen actuarial, los Modelos de la Economía Financiera.

Es declarado como un hecho en mi manual que $\sigma$ es la volatilidad de las acciones, $\sqrt{\text{Var}(\ln(S_t/S_0))}$ y de que la volatilidad del compuesto continuamente retorno de una acción está dada por $\sqrt{\text{Var}(\ln(S))}$.

Claramente $\sqrt{\text{Var(X)}}$ es la volatilidad, pero, ¿de dónde los $\ln(S_t/S_0)$ y $\ln(S)$ provienen, respectivamente?

También afirma sin prueba de ello es que si una acción paga continua dividendos, $\sqrt{\text{Var}(\ln(S_t/S_0))} = \sqrt{\text{Var}\big(F_{0, t}^p(S)\big)}$. es decir, la volatilidad de la bolsa de valores es la misma que la volatilidad de la tarjeta de avanzar en las acciones.

Estaba esperando que alguien podría proporcionar una referencia a una derivación, o una explicación.

Answer 1

El estándar de punto de partida con la elaboración de modelos de precio de las acciones del proceso es utilizar el modelo Black-Scholes para el precio de las acciones. Esto simplemente afirma que los cambios en el precio de las acciones está descrito por la siguiente ecuación diferencial estocástica (SDE) $$\dfrac{\textrm{d}S}{S} = \mu\:\textrm{d}t + \sigma\:\textrm{d}W_t$$ donde $W_t$ es un estándar el movimiento Browniano (que es una variable aleatoria), y por lo general de $ \mu$ y $\sigma$ son constantes positivas, (aunque este supuesto puede quitar, el resultado final es más complicado).

Un argumento estándar para resolver esto es, a continuación, aplicar el Lema de Ito para el proceso de $\log(S)$ considerando $\textrm{d}\big(\log(S)\big)$. Aunque formalmente apreciar las sutiles detalles que requiere un curso de cálculo estocástico. El resultado final es que la solución a la anterior SDE es $$ S = S_0\exp\left(\left(\mu - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t\derecho)\:. $$ Aviso que de nuevo $S$ es todavía una variable aleatoria (técnicamente, una log-normal de la variable aleatoria). Entonces, si consideramos que $\log\left(\dfrac{S}{S_0}\right)$ vemos que $$ \log\left(\dfrac{S}{S_0}\derecho) = \left(\mu - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t $$ que es una variable aleatoria normalmente distribuida con una media de $\left(\mu - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)t$ y una desviación estándar de $\sigma t^{\frac{1}{2}}$. ¿Cuál es entonces suele hacer es una escala de tiempo se escoge tal que $t\1$ y por lo que la desviación estándar de (también conocido como el ruido) se evalúa a $\sigma$.

De lo contrario, no estoy seguro de lo que su notación es para una acción que paga dividendos, así que no puedo comentar sobre eso.

Buscar cualquier libro de introducción a los derivados financieros o estocástico de cálculo para aplicaciones financieras y esta debe cubrir los temas con más detalle.

Espero que le ayude.

Answer 2

Usted puede ver e^(rt) =St/S0, que es continuo y puede generar r cuando t=1 tiempo de retardo r= En(St/S0).