Son dos procesos estocásticos independientemente de si los procesos de Wiener en el interior están correlacionadas

Question

Suponga que hay dos procesos estocásticos: $dx_t = \alpha_1(x_t,t)dt + \beta_1(x_t,t)dW^1_t$ y $dy_t = \alpha_2(y_t,t)dt + \beta_2(y_t,t)dW^2_t$.

Hace $dW^1_t\times{dW^2_t} = 0$ implica que $\operatorname{cov}(x_t, y_t) = 0$?

Si lo hace, por favor, dame una prueba.

Answer 1

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Mi "respuesta" a continuación no es realmente una respuesta para que yo me he malinterpretado tu pregunta original. Pensé que le preguntó acerca de la covarianza de los 2 procesos a lo largo de un determinado horizonte de tiempo (es decir, por un fijo de $\omega$) y no la covarianza de dos variables aleatorias (fijo $t$). También tenga en cuenta que $\text{cov}(x,y)=0$, no significa que $x$ y $y$ son independientes (excepto en el caso especial donde tienen una distribución elíptica), solo significa que no están correlacionados (Pearson de correlación lineal se supone).

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No, esto no es cierto en general.

Tomemos el ejemplo de abajo donde he asumido \begin{se reúnen} dX_t = X_t( r_X dt + \sigma_X dW_t^X ),\ \ X(0) = X_0 \\ dY_t = X_t( r_Y dt + \sigma_Y dW_t^Y ),\ \ Y(0) = Y_0 \\ d\langle W^X, W^Y \rangle_t = \rho_{XY} \end{se reúnen} con \begin{se reúnen} X_0 = 1, Y_0 = 2 \\ r_X = 50\%, r_Y = -50\%\\ \sigma_X = 50\%, \sigma_Y = 25\% \end{se reúnen}

Ahora tome $\rho_{XY} = 0\%$ y se obtiene la siguiente figura: a pesar de que la Browniano incrementos están correlacionadas (aquí representados a través del registro de devoluciones, inferior subtrama), los procesos $X_t$ y $Y_t$ claramente presentan una correlación significativa (ver parte superior subtrama con una muestra significativa de correlación de Pearson).

Esto se debe esencialmente a la deriva de los términos en el SDE.

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Tenga en cuenta que si $\rho_{XY}=99\%$ no ver que la correlación (recordemos que es una correlación entre los incrementos de) transpirar a nivel mundial, ya sea, ver a continuación