Cómo el precio de una acción en virtud de Q y estocásticos de tipos de interés?

Question

Estoy interesado en el precio de una acción en $\mathbb{Q}$ al asumir que

$$dS(t) = \mu(S(t))dt + \sigma(S(t))dW(t)$$

donde $W(t)$ es un proceso de Wiener en $\mathbb{P}$ y

$$dr(t) = a(b-r(t))dt + \sigma(r(t))dZ(t)$$

donde $Z(t)$ es un proceso de Wiener en $\mathbb{P}$. Así que en el mundo real las observaciones de las tasas de interés y los precios de las acciones y quiere hacer uso de ellos para el precio de las acciones en $\mathbb{Q}$. He encontrado en uno de los papeles que la ecuación diferencial de precio de las acciones será la siguiente:

$$dS(t) = r(t)dt + \sigma(S(t))dB(t)$$

y

$$dr(t) = a(b-r(t))dt + \sigma(r(t))dZ(t),$$

donde $B(t)$ es un proceso de Wiener en $\mathbb{Q}$. Pero no entiendo, ¿por qué el proceso de Wiener para la tasa de Interés es el mismo que en $\mathbb{P}$. Significa que si quiero el precio de las acciones en $\mathbb{Q}$ es que no importa si mi tasas de interés tienen un precio de menos de $\mathbb{Q}$ o no? Significa que si yo el precio de mis acciones en $\mathbb{Q}$ con el mundo real de las tasas de interés y es martingala, es neutrales al riesgo? Podría por favor ayudarme?

Gracias!

Answer 1

La derivación en el Apéndice a de la ponencia de Valoración de la Equidad, Anualidades Indexadas bajo Estocásticos de tipos de Interés que usted ha mencionado es Incorrecto: el Girsanov transformación se aplica a un $$n-dimensional movimiento Browniano, donde los componentes son independientes. Sin embargo, para el caso aquí con $n=2$, la Browniano, los movimientos son dependientes, no podemos ser ingenuos de ellos se combinan para formar una de dos dimensiones el movimiento Browniano y, a continuación, aplicar el Girsanov transformación.

Para su caso, suponemos que, en el mundo real de la probabilidad de la medida $\mathbb{P}$, $$\begin{align*} dS(t) &= \mu(S(t)) dt + \sigma(S(t)) dW(t)\\ dr(t) &= a(b-r(t)) dt + \sigma(r(t)) dZ(t),\\ \end{align*}$$ donde $\{W(t), t \ge0\}$ y $\{Z(t), t \ge0\}$ son dos Browniano estándar movimientos con la instantánea de correlación $\rho$. Basado en la descomposición de Cholesky, podemos re-escribir la anterior dinámica como $$\begin{align*} dS(t) &= \mu(S(t)) dt + \sigma(S(t)) dW(t)\\ dr(t) &= a(b-r(t)) dt + \sigma(r(t)) d\big(\rho W(t) + \sqrt{1-\rho^2} B(t)\big), \end{align*}$$ donde $\{W(t), t \ge0\}$ y $\{B(t), t \ge0\}$ son dos independientes estándar Browniano movimientos.

Para obtener la dinámica bajo la neutrales al riesgo probabilidad de medida $\mathbb{Q}$, vamos $$\begin{align*} \lambda(t) = \frac{r(t) - \mu(S(t))}{\sigma(S(t))}. \end{align*}$$ A continuación, $$\begin{align*} \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\big|_t = \exp\left(-\frac{1}{2} \int_0^t \lambda^2(s)ds + \int_0^t \lambda(s)dW_s \derecho). \end{align*}$$ Por otra parte, en virtud de la medida $\mathbb{Q}$, $$\begin{align*} \widehat{W}(t) &= W(t) - \int_0^t \lambda(s)ds, \mbox{ y}\\ \widehat{B}(t) &= B(t), \end{align*}$$ son dos independientes estándar Browniano movimientos. En consecuencia, $$\begin{align*} dS(t) &= r(t) dt + \sigma(S(t)) d\widehat{W}(t)\\ dr(t) &= \big[a(b-r(t)) + \rho \lambda(t) \sigma(r(t)) \big]dt + \sigma(r(t)) d\big(\rho \widehat{W}(t) + \sqrt{1-\rho^2} \widehat{B}(t)\big). \end{align*}$$ Nota: el plazo adicional $\rho \lambda(t) \sigma(r(t))$ en esta dinámica bajo el riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$.

Answer 2

Si el modelo de la mancha precio de la acción, entonces es sólo el precio spot (¿qué otra cosa podría ser más exacta?).

Si el modelo el precio a futuro de una acción, entonces usted probablemente desea aplicar el costo de llevar (con el fin de evitar arbitrge). Si no hay dividendos en su lugar, entonces el precio a plazo de tiempo $T$ es $$F_T = S_0 rT$$ donde $r$ es una tasa que se aplica para el período de tiempo que debe analizar.

Si usted tiene algún tipo de interés del modelo, entonces esto debería dar el mismo factor para el mismo período (si está calibrado a la tasa). Por lo tanto se debe dar a la misma.

Por cierto: usted mirar a corto-tasa de modelos. El continuo de la tasa de corto no existe - no puede ser objeto de comercio por sí mismo. Sólo objetos similares a $$E_Q[\exp(\int_0^T r_u du)]$$ puede ser objeto de comercio (FRAs). Por lo general, la SDE para $r_t$ el corto rate es bajo P. Y Bajo Q el precio de las acciones crece a la tasa libre de riesgo.