Pregunta simple sobre salto-difusión

Question

En el libro de texto de Shreve en sec. 11.7.2 se introduce un proceso de salto-difusión. Más concretamente

$$ dS_t = \alpha\,S_t\,dt+\sigma\,S_t\,dW_t+S_{t-}\,d\left(Q_t-\beta\,\lambda\,t\right)\quad (1) $$

donde $Q_t = \sum_{i=1}^{N_t}Y_i$ y $N_t$ es Poisson con intensidad $\lambda$ . El proceso se reescribe como

$$ dS_t = (\alpha-\beta\,\lambda)\,S_t\,dt+\sigma\,S_t\,dW_t+S_{t-}\,dQ_t\quad(2). $$

El problema es que, una parte de los instantes temporales en los que no hay salto y por tanto $S_t=S_{t-}$ no puedo pasar de (1) a (2), porque si hay un salto de tamaño $Y_i$ a la vez $t$ sostiene que

$$ \frac{S_t-S_{t-}}{S_{t-}} = Y_i\rightarrow S_t = S_{t-}\,(Y_i+1). $$

y así obtengo

$$ dS_t = \alpha\,S_t\,dt+\sigma\,S_t\,dW_t+S_{t-}\,dQ_t-S_{t-}\,\beta\,\lambda\,dt\neq (\alpha-\beta\,\lambda)\,S_t\,dt+\sigma\,S_t\,dW_t+S_{t-}\,dQ_t. $$

Aquí hay una instantánea del libro de texto.

Answer 1

¿Podría ser que su problema se deba únicamente a la $t^-$ convención de notación?

Piénsalo así, sólo vale la pena distinguir $S_{t^-}$ de $S_t$ en un momento de salto. Por otra parte, sabiendo que las trayectorias del movimiento browniano son continuo siempre tendrás $S_t = S_{t^-}$ .

Así también se podría escribir el SDE:

$$\frac {dS_t}{S_{t^-}} = \alpha dt+\sigma dW_t+ d\left(Q_t-\beta\,\lambda\,t\right)$$

O simplemente suprimir el $t^-$ si le molesta. Sólo recuerde que estamos tratando con procesos con trayectorias càdlàg (continua derecha $S_t $ límite izquierdo $S_{t^-} $ )