En primer lugar, debemos definir la elasticidad de sustitución $\sigma$ . Este puede ser un concepto difícil y confuso. (Si quiere que le vuele la cabeza, mire el cuadro 2 de esta encuesta de Stern que clasifica nada menos que 10 nociones de elasticidad de sustitución).
Dicho esto, la fórmula que menciona tu profesor sólo es válida cuando hay dos bienes, así que voy a suponer que nos limitamos al caso de dos bienes, y ahí, la definición de la elasticidad de sustitución es (en su mayor parte) inequívoca. Primero voy a definirla como (menos) la elasticidad inversa de la relación de las utilidades marginales de $x$ y $y$ a la relación de sus cantidades, manteniendo el nivel global de utilidad constante en algún $u$ : $$\sigma\equiv - \left.\left(\frac{\partial \log(U_x/U_y)}{\log(x/y)}\right)^{-1}\,\right|_{U=u}$$ Mide la curvatura de la curva de indiferencia entre $x$ y $y$ Cuanto más alto sea el $\sigma$ (es decir, cuanto más sustituible $x$ y $y$ son), más se acerca la curva de indiferencia a una línea recta.
Ahora bien, la demanda hicksiana minimiza el gasto a condición de estar en una curva de indiferencia. Esto implica fijar la relación de utilidades marginales igual a la relación de precios: $$U_x(x^H,y^H)/U_y(x^H,y^H)=p_x/p_y$$ Por lo tanto, podemos reinterpretar $\sigma$ como (menos) la elasticidad de las demandas relativas hicksianas con respecto a los precios relativos: $$\sigma=-\frac{\partial \log(x^H(p,u)/y^H(p,u))}{\log(p_x/p_y)}\tag{1}$$ Como el denominador sólo tiene el precio relativo $p_x/p_y$ no depende de cómo cambiemos este precio relativo (por ejemplo, aumentando $p_x$ frente a la reducción $p_y$ ). Supongamos que sólo elevamos $p_x$ y, a continuación, utilice su $\varepsilon$ La notación para las elasticidades se ha simplificado: $$\sigma=-\frac{\partial \log(x^H(p,u)/y^H(p,u))}{\log(p_x)}=\varepsilon^H_{y,p_x}-\varepsilon^H_{x,p_x}\tag{2}$$ Llegados a este punto, aportamos una sencilla identidad de la demanda hicksiana, a saber, que la suma de las elasticidades de los bienes con respecto a algún precio, ponderada por sus cuotas, es cero (la prueba se incluye más adelante): $$s_x\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=0\tag{3}$$ Desde $s_x=1-s_y$ podemos reescribir (3) como $$(1-s_y)\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=s_y\cdot(\varepsilon^H_{y,p_x}-\varepsilon^H_{x,p_x})+\varepsilon^H_{x,p_x}=0\tag{4}$$ Pero el término entre paréntesis en (4) es sólo la elasticidad de sustitución $\sigma$ como mostramos en (2). Reordenando, hemos demostrado la afirmación de tu profesor $$\varepsilon^H_{x,p_x}=-s_y\sigma$$ como se desee.
Prueba de (3) . Sabemos que, manteniendo la renta constante, el gasto marshalliano debe permanecer constante tras cualquier cambio en los precios. La elasticidad del gasto en $x$ con respecto a $p_x$ es $1+\varepsilon^M_{x,p_x}$ (combinando las variaciones de precio y cantidad), y la elasticidad del gasto en $y$ con respecto a $p_x$ es $\varepsilon^M_{y,p_x}$ . Ponderados por las acciones iniciales, deben sumar 0: $$s_x(1+\varepsilon^M_{x,p_x})+s_y\varepsilon^M_{y,p_x}=0$$ Sustituyendo la ecuación de elasticidad de Slutsky, obtenemos $$s_x + s_x(\varepsilon^H_{x,p_x}-\eta_xs_x)+s_y(\varepsilon^H_{x,p_x}-\eta_ys_x)=0$$ que, una vez que utilizamos el hecho de que $\eta_xs_x+\eta_ys_y=1$ (a medida que los ingresos se expanden, el gasto total se expande proporcionalmente), tiene un $-s_x$ anulando la $s_x$ en la parte delantera, y se reduce a sólo (3): $$s_x\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=0\tag{3}$$ como se desee. Esta es una identidad muy importante que rige la demanda hicksiana: dice que a medida que cambiamos los precios, en primer orden el coste de la demanda hicksiana en el precios antiguos se mantiene constante (esto está relacionado con que se trata de una demanda "compensada": localmente, costaría lo mismo a los antiguos precios).
