La interpretación de la razón de dos varianzas en una decisión Bayesiana problema

Question

Dada previa normal, con una media de $\mu_0$ y variación $\sigma_0^2$, la normal y una probabilidad con la conocida variación $\sigma^2$, el Bayesiano posterior, después de observar a $n$ iid señales de $x_1,\dots,x_n$, es también una distribución normal con una media de $$ \left(\frac{\mu_0}{\sigma_0^2}+\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{\sigma^2}\right) \left(\frac{1}{\sigma_0^2}+\frac{n}{\sigma^2}\right)^{-1} $$ y la varianza $$\left(\frac{1}{\sigma_0^2}+\frac{n}{\sigma^2}\right)^{-1}.$$ Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_prior#Continuous_distributions.

Pratt, Raiffa, y Schlaifer (2008) sugieren que podríamos definir $$n'=\frac{\sigma^2}{\sigma_0^2}$$ de modo que la parte posterior de la media y la varianza puede ser escrito como $$ \frac{n'\mu_0+\sum_{i=1}^nx_i}{n'+n}\quad\text{y}\quad\frac{\sigma^2}{n'+n}. $$

Dicen que

El parámetro $n'$ puede ser interpretado por tanto, como la "ficticia tamaño de la muestra" o equivalente número de observaciones de la muestra que se describe la cantidad de información implícita en el antes de la distribución.

Estoy teniendo dificultad para la comprensión de la interpretación de $n'$, especialmente la parte después de la "o". Alguien podría ayudarme a entender que, tal vez de ponerlo en una forma diferente, o elaborar un poco?

Answer 1

Excusa el juego de palabras, pero la interpretación de $n'$ es un... posterior. Significado, lo importante no es cómo $n'$ se define (cociente de varianzas, aunque esto resulte consistente con la interpretación), pero, ¿cómo funciona en la parte posterior de la media y la varianza.

¿Qué hacer? Para la parte posterior de la varianza, es más fácil: en primer lugar, aparece como una adición a la expresión del denominador, una suma comparable con el tamaño real de la muestra. Esto permite a los autores a hablar de "equivalente al número de observaciones de la muestra". En segundo lugar, su efecto es disminuir la varianza, la cual es una medida de dispersión, pero también de incertidumbre. Este efecto permite a los autores a hablar de "la cantidad de información implícita en la distribución previa": más información en la previa de menor incertidumbre en la previa de incertidumbre inferior en la parte posterior - y, de hecho, $\sigma^2_0 \downarrow \implica n' \uparrow \implica \text{Posterior de la Varianza} \downarrow$.

Para la posterior significa que tenemos (de $N \equiv n' + n$)

$$\text {Posterior Significa} = \frac{n'\mu_0 +\sum_{i=1}^nx_i}{n'+n} = \frac{n}{N}\mu_0 + \frac{n}{N}\bar x$$

es decir, una combinación convexa de la antes de la media y la media de la muestra - por lo que la magnitud $n'$ pesa la información previa en contra de la información de la muestra, como si hubiera dos muestras separadas de la misma población de tamaños $n'$ y $n$, y consideró que su agrupado promedio. De nuevo, esto puede ser interpretado como "información implícita en la previa distribución, expresada en términos de virtual/ficticia tamaño de la muestra".