¿Cuál es la importancia de alpha, beta, rho en el modelo de volatilidad SABR?

Question

Acabo de leer que el modelo SABR es un modelo de volatilidad estocástica, que intenta capturar la sonrisa de volatilidad en los mercados de derivados. El nombre significa "alfa, beta, rho estocásticos", refiriéndose a los parámetros del modelo

¿Alguien puede ayudarme a entender cuál es la importancia de alfa, beta, rho en el modelo de volatilidad SABR?

Answer 1

Creamos el modelo SABR porque nos dimos cuenta de que (a) los valores de las opciones eran no lineales en la volatilidad, y (b) las volatilidades son estocásticas. Esto significa que si uno tenía una opción (o cartera de opciones) que tiene gamma positiva en la dimensión de volatilidad, en promedio ganaríamos dinero con las fluctuaciones en la volatilidad, y perderíamos dinero con gamma negativo. Para ser justos, estas ganancias o pérdidas deberían ser compensadas en el carry diario ... es solo Black Scholes en la dimensión de volatilidad. Creamos el modelo para no perder dinero debido a la volatilidad de la volatilidad. Resulta que las opciones en el dinero son casi lineales en la volatilidad, por lo que hay poco vol-gamma para las opciones en el dinero, y niveles mucho más altos de vol-gamma para las opciones fuera del dinero ... por lo que la corrección de precio SABR es mucho más fuerte fuera del dinero, lo que resulta en una sonrisa de volatilidad. Pat

Answer 2

Vamos a etiquetar esto como ¿Qué es SABR (TF)?

Alfa, Beta y Rho son el punto del modelo. Por lo tanto, explicarlos es explicar el modelo.

Un modelo de dos procesos

A diferencia de los modelos anteriores en los que la volatilidad se modelaba como una constante (Vasicek, Hull-White, etc), SABR asume que, además del precio de la cosa siendo estocástico, también lo es su volatilidad. Es decir, la volatilidad también seguirá algún camino estocástico.

Por lo tanto, tenemos dos procesos claramente relacionados; el precio, digamos de una tasa forward (siguiendo la notación de Wikipedia):

$$dF_t = \sigma_t F_t^\beta dW_t$$

Lo que simplemente significa que los cambios en el precio son proporcionales al precio mismo elevado a la potencia $\beta$, y a un proceso de Wiener $W_t$, escalado por la volatilidad ahora dependiente del tiempo $\sigma_t$.

También tenemos un proceso para la volatilidad $\sigma_t$:

$$d\sigma_t = \alpha \sigma_t dZ_t$$

Nuevamente, los cambios en la volatilidad son proporcionales a la volatilidad misma (por lo que el comportamiento es invariante a la escala) y a un segundo proceso de Wiener $Z_t$, todos escalados esta vez por $\alpha$.

$\alpha$ es entonces la volatilidad (constante) de la volatilidad. Es decir, podríamos modelar eso como estocástico también, pero eso parece ser mucho trabajo.

Entonces, ¿dónde está $\rho$?

$\alpha$ era el volvol, $\beta$ era la potencia en la relación de precios, nos falta $\rho$.

Dado que los dos procesos (el precio y su volatilidad) están muy relacionados, el modelo SABR conecta los dos procesos de Wiener que impulsan su movimiento al hacerlos correlacionados con el parámetro $\rho$:

$$dW_t dZ_t = \rho dt$$

Entonces, los cambios en los dos procesos de Wiener están correlacionados con $\rho$ en el tiempo. Nuevamente, $\rho$ es una constante.

Por lo tanto, ninguno de $\alpha$, $\beta$ o $\rho$ son estocásticos; tal vez el nombre debería haber sido Volatilidad Estocástica, Alfa Beta Rho. Pero SVABR es mucho menos pegajoso.

¿Cómo voy a valorar algo con SABR cuando nadie cotiza $\alpha/ \beta/ \rho$?

Ah, sí. Si bien el mercado cotiza volatilidades, no cotiza estos parámetros, por lo que es difícil simplemente tejer un modelo en Excel y usarlo.

Las ecuaciones que tenemos hasta ahora modelan la dinámica dada los parámetros, por lo que para obtener los parámetros tendremos que resolverlos esencialmente dados algunos otros elementos, como los precios de mercado para las opciones que son sensibles a esos parámetros.

Ajustar un conjunto de valores de parámetros a comillas de mercado es objeto de mucho esfuerzo, por ejemplo, esta publicación en el blog.

Todos los modelos son finitos

Ningún modelo es capaz de capturar mágicamente toda la información disponible, y no tendría sentido; el poder de un modelo radica en derivar verdades más simples que la información con la que se comienza. Con SABR, el modelo recrea mejor la dinámica de la evolución de una tasa de interés, pero hay que tener en cuenta que solo hay un pequeño número fijo de parámetros. Por lo tanto, no puede calibrarse perfectamente a un mercado con decenas o cientos de entradas.

Answer 3

A menos que me esté perdiendo lo obvio, ¡no veo la pregunta respondida? En mi opinión, tratar de entender en lenguaje simple qué $\alpha, \beta, \rho$ significan requiere una explicación de qué hacen estos parámetros y por qué es útil.

Aquí está mi intento: Black (todas las fórmulas de Black Scholes) asume(n) que la Volatilidad Implícita es independiente de la huelga (constante y conocida). Sin embargo, este suele no ser el caso y si grafica (cotizada) IVOL y huelga, se ve lo que se llama una sonrisa o inclinación. SABR se puede utilizar para interpolarnos una sonrisa de volatilidad.

Antes de hablar sobre SABR, consideremos $\beta$ por separado. El modelo CEV no asume un proceso lognormal (Black) sino que es más general: $$dF = \alpha * F ^ \beta * dW$$ donde $\alpha$ corresponde a la volatilidad CEV (establece el nivel general de volatilidad), $\beta$ es el parámetro CEV (que determina el sesgo) y $W$ es el movimiento Browniano.

Ahora, en términos de lo que el nivel, sesgo y sonrisa en realidad significan o cómo lucen, recomiendo echar un vistazo a esta ilustración en el mercado de divisas. El nivel será lo que se muestra como la volatilidad plana para todas las huelgas (solo ATM simple), el sesgo es el parámetro CEV. Para $\beta < 1$, la sonrisa de volatilidad es una función decreciente del precio de huelga. Un problema importante es que no es capaz de producir una sonrisa (las alas con pendiente ascendente en el ejemplo de FX que enlacé).

Ahí es donde entra SABR: Además de CEV, la nueva suposición es que la volatilidad no es constante como en CEV sino un proceso estocástico en sí. Por lo tanto, $\sigma$ misma está gobernada por una EDP, al igual que la tasa forward (como se asume en Black y CEV). Los dos movimientos Brownianos (para tasa forward y volatilidad) están correlacionados a través del coeficiente de correlación $\rho$.

Cómo obtener o establecer $\beta$ se explica aquí. Esta respuesta muestra cómo se puede estimar $\beta$ y cuál es el efecto e interpretación de $\beta$.

Una vez que tenga $\beta$,

• $\alpha$ controla principalmente la altura general (como en CEV),
• $\rho$ (correlación) controla el sesgo (para beta establecido) y
• $\nu$ (volatilidad de volatilidad) controla la sonrisa (no parte de la pregunta pero crucial) .

El gif a continuación utiliza Julia y las fórmulas a partir de 2.17 en adelante, comenzando en P.89, de Managing Smile Risk. Wilmott, 1, 84-108,.

# cargar paquetes
using Plots, PlotThemes, Interact, LaTeXStrings
theme(:juno)

#definir entradas
, , , , t_ex, f1, f2, f3, t_ex = 1, 0.05, 0, 1, 1, 0.03, 0.05, 0.07, 1
K = 0.01:0.0001:0.1

#definir la expresión
function _b(,, , , t_ex, f, K)
    A = /(((f*K)^((1-)/2))*(1+((1-)^2)/24*log(2,(f/K))+ ((1-)^4)/1920*log(4,(f/K))))
    B = 1+(((1-)^2)/24*(^2/(f*K)^(1-))+(1/4)****/((f*K)^((1-)/2))+(2-3*^2)/24*^2)*t_ex
    z = /*(f*K)^((1-)/2)*log(f/K)
    _z = log((sqrt(1-2**z+z^2)+z-)/(1-))
    atm = /(f^(1-))*(1+(((1-)^2)/24*(^2/(f*K)^(1-))+(1/4)****/((f*K)^((1-)/2))+(2-3*^2)/24*^2)*t_ex)
    cond = f==K
  return cond ? atm : A*z/_z*B, atm
end

# definir gráficos
plot(K,[x[1] for x in _b.(,, , , t_ex, f, K)], size =(800,500), margin=5Plots.mm, 
                                                          title = "Modelo SABR \n( = $,  = $,  = $,  = $, "L"$ t_{ex}"*" = $t_ex)",
                                                          label = "f = $(round((f*100),digits=1))%",
                                                      xlabel = "Huelgas",
                                                      ylabel = "Volatilidad")
ylims!((0, ylims()[2]+ylims()[1]))
vline!([f], label = "Vol ATM = $(round(minimum([x[2] for x in _b.(,, , , t_ex, f, K)]),digits = 2))")

ylims!((0,maximum(x[1] for x in _b.(,, , , t_ex, f3, K))))
xlims!((minimum(K),maximum(K)))

Agregando unas líneas similares a esta respuesta hace que el gráfico sea interactivo.

Cambiar el nivel de correlación hace que la sonrisa "gire" alrededor del punto ATM, y si $\rho < 0$, la volatilidad es menor para precios de huelga más altos (ITM) y viceversa (la volatilidad aumenta en el lado izquierdo de la figura).

Por lo tanto, es posible ajustar toda la curva de volatilidad con este modelo. Un comentario adicional, NO ajustará las vols citadas ya que es el mejor ajuste general alrededor de todos los puntos. Si el ajuste de vols citadas es una característica deseada, se podría por ejemplo combinar de forma lineal por tramos dentro del espectro citado y SABR para extrapolación.

Editar:

Seguí la notación en la P.13 del documento original que establece que

Los tres parámetros , y tienen diferentes efectos en la curva: el parámetro controla principalmente la altura general de la curva, al cambiar la correlación se controla la inclinación de la curva, y al cambiar la vol de vol se controla cuánta sonrisa exhibe la curva.

La otra respuesta (por cierto, al referirse a la respuesta anterior a la mía es confuso porque se pueden ordenar las respuestas de varias maneras) usa la notación de Wikipedia al parecer. Wikipedia define como $\sigma$ y como , lo cual es bastante confuso, dada la elección de parámetros en el documento original. Además, los autores (vea el documento en la P.8) eligieron el nombre "modelo estocástico", que se ha conocido como el modelo SABR porque hacen que (la volatilidad) sea un proceso estocástico. Eso también es algo que la otra respuesta claramente parece haber pasado por alto.

Answer 4

Los parámetros implícitos se utilizan. Básicamente se realiza una reducción de dimensiones paramétrica al implicarlos a través de un rango de precios observados, verificando los errores, y luego podrías interpolar o incluso hacer una extrapolación con precaución. En realidad, los escritorios tendrán sus propios márgenes pero puedes generar una superficie de volatilidad como referencia a partir de estos parámetros.

Si mal no recuerdo, podría haber algunos problemas con esta parametrización en términos de estabilidad dependiendo de lo que estés haciendo.