Varianza condicional vs incondicional de la varianza en el modelo de ARCO

Question

Estoy en el proceso de trabajo a través de algunos conjuntos de problemas. He estudiado algo de tiempo de la serie, pero mi conocimiento de ARCO de modelos es bastante básico. Me da la siguiente información:

$Y_t = a_0 + a_1 Y_{t-1} + \epsilon_t$

donde $\epsilon_t | I_{t-1} \sim N(0,h_t)$ y $h_t = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-2}^2$

He resuelto de la siguiente,

Varianza condicional:

$E(Y_t | I_{t-1}) = a_0 + a_1 Y_{t-1}= \mu$

entonces

$Var(Y_t)=E[(Y_t- \mu)^2] = E(E_t^2) = ht = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-2}^2$

Incondicional De La Varianza:

En este punto creo que podemos crear una nueva serie para $Y_t$ ya que no somos acondicionado, así que me escribió,

$Y_t = a_0 + a_1 (a_0 + a_1 Y_{t-2} + \epsilon_{t-1}) + \epsilon_t$, repita este infinitamente muchas veces y obtener

$Y_t = \frac{a_0}{1-a_1} + \sum_{j=0}^\infty a_1^j \epsilon_{t j}$

$E(Y_t) = \frac{a_0}{1-a_1}$ y

$Var(Y_t) = E[(Y_t - \mu )^2] = \sum_{j=0}^\infty a_1^{2j} \epsilon_{t j}^2 = (\alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-2}^2) + a_1^2 (\alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-2}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-3}^2) + a_1^4(\alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-3}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-4}^2) + \dots$

No estoy seguro de si esto limpia muy bien, pero, ¿qué dice esto de la varianza? parece que los incondicional es sólo va a volar infinitamente (dado que yo podría haber cometido un error en la derivación de esta pregunta). No estoy seguro de si debo decir algunas condiciones de estabilidad en esta pregunta similar a la AR(1) de los procesos (por ejemplo, $\alpha_1 < 1$ y $\alpha_2 < 1$), ya que estos son desviaciones de hacer esas condiciones se aplican?

Si yo era la celebración de una declaración, es aceptable para la estancia, el modelo refleja la volatilidad de la agrupación a través de 2 período de los gal?

Answer 1

No puedo responder directamente a su pregunta, pero creo que puedo arrojar algo de luz. Lo que me parece es que bajo ciertas restricciones, la incondicional, la varianza es finito. Sin embargo, no estoy seguro de cómo se relacionan con mi respuesta a la noción de la volatilidad de la agrupación.

Tenga en cuenta que si asumimos la estacionariedad, entonces $\sigma^2=E(\epsilon_t^2)$ para todo $t$ y sigue por la ley del total de las expectativas que $$\sigma^2=E(E(\epsilon_t^2|I_{t-1}))=E(h_t)=\alpha_0+\alpha_1\sigma^2+\alpha_2\sigma^2$$ usando su expresión por $h_t$. Por lo tanto, $\sigma^2=\frac{\alpha_0}{1-(\alpha_1+\alpha_2)}$ es una solución, siempre que $\alpha_1+\alpha_2<1$.

Ahora, por la ley de la varianza total, \begin{align*}V(Y_t)&=E(V(Y_t|I_{t-1}))+V(E(Y_t|I_{t-1}))\\ &=E(\epsilon_t^2)+V(\mu_t)\\ &=\sigma^2+a_1^2V(Y_{t-1}) \end{align*} a partir de sus resultados, donde $\mu_t=a_0+a_1 Y_{t-1}$. Suponiendo que la estacionariedad, y por lo tanto que la varianza es constante para todos los $t$, se sigue que $$V(Y_t)=\frac{\sigma^2}{1-a_1^2}$$ es una solución para $a_1\neq\pm 1$ y $\alpha_1+\alpha_2<1$.

Os animo a claramente en cuenta mis suposiciones. No puedo evaluar esta respuesta como que no saben nada acerca de las series de tiempo.

(Tenga en cuenta también que a partir de la hipótesis de estacionariedad tiene que $E(Y_t)=a_0+a_1E(Y_{t-1})$ implica $$E(Y_t)=\frac{a_0}{1-a_1}$$ es una solución).