Volatilidad de la opción de cambio

Question

Tengo una pregunta y su solución parcial, y tengo algunas dudas sobre la volatilidad de su proceso de movimiento browniano geométrico:

Pregunta:

¿Cómo cotizaría una opción de compra de bolsa que paga $max(S_{T,1}-S_{T,2},0)$ en la madurez. Supongamos que $S_1$ y $S_2$ son valores que no pagan dividendos y ambos siguen movimientos brownianos geométricos con correlación $\rho$

Solución:

El resultado de la opción de intercambio depende de ambos $S_{T,1}, S_{T,2}$ por lo que necesitamos dos movimientos brownianos geométricos:

$dS_1 = \mu_1S_1dt+\sigma_1S_1dW_{t,1}$ $dS_2 = \mu_2S_2dt+\sigma_2S_2dW_{t,2}$

Sin embargo, si utilizamos $S_1$ como el numerario, podemos convertir el problema en un solo movimiento browniano geométrico. El resultado final es $max(S_{T,1}-S_{T,2},0)=S_{T,1}max(S_{T,2}/S_{T,1}-1,0)$ . Cuando $S_{T,1} and S_{T,2}$ son movimientos brownianos geométricos, $f=S_{T,2}/S_{T,1}$ es también un movimiento browniano geométrico. Más rigurosamente, podemos el lema de Ito para $f=S_{T,2}/S_{T,1}$ :

$df = \frac{\partial f}{\partial S_1}dS_1+\frac{\partial f}{\partial S_2}dS_2+0.5*\frac{\partial^2 f}{\partial S_1^2}dS_1^2+0.5*\frac{\partial^2 f}{\partial S_2^2}dS_2^2+\frac{\partial^2 f}{\partial S_1\partial S_2}dS_1dS_2=(\mu_2-\mu_1+\sigma_1^2-\rho\sigma_1\sigma_2)fdt - \sigma_1fdW_{t,1}+\sigma_2fdW_{t,2} = (\mu_2-\mu_1+\sigma_1^2-\rho\sigma_1\sigma_2)fdt+\sqrt{\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2+\sigma_1^2}fdW_{t,3}$

Así que aquí está mi duda, por qué $- \sigma_1fdW_{t,1}+\sigma_2fdW_{t,2} = \sqrt{\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2+\sigma_1^2}fdW_{t,3}$ ¿tiene?

Answer 1

Definir el proceso $$X_t=\frac{1}{\sqrt{\sigma_2^2+\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}}\left(\sigma_2W_{t,2}-\sigma_1W_{t,1}\right)$$ Es una martingala porque es una combinación lineal de martingalas.

Calcular $d<X_t,X_t>$ $$d<X_t,X_t>=\frac{1}{\sigma_2^2+\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}\left(\sigma_2^2+\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2\right)dt=dt$$

Por la caracterización de Levy del movimiento browniano, $X_t$ es un movimiento browniano, y lo renombramos como $$X_t=W_{t,3}$$

Por último, diferenciar la primera pregunta

$$\sqrt{\sigma_2^2+\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}dW_{t,3}=\left(\sigma_2dW_{t,2}-\sigma_1dW_{t,1}\right)$$

Answer 2

Propongo una respuesta más sencilla: que $W_1(t)$ y $W_2(t)$ sean dos movimientos brownianos correlacionados, con:

$$\mathbb{E}\left[W_1(t)W_2(t) \right] := Cov\left(W_1(t),W_2(t) \right) = \rho_{1,2}t $$

Entonces:

$$\mathbb{E}\left[ -\sigma_1 W_1(t) + \sigma_2 W_2(t) \right] = 0$$

Y:

$$\mathbb{E}\left[ \left(-\sigma_1 W_1(t) + \sigma_2 W_2(t) \right)^2 \right] = \mathbb{E}\left[\sigma_2^2 W_2^2(t) - 2 \sigma_1 \sigma_2 W_1(t) W_2(t) + \sigma_1^2 W_1^2(t) \right] = \\ =\sigma_2^2t - 2 t \sigma_1 \sigma_2\rho_{1,2} + \sigma_1^2t = \\ = Var \left(-\sigma_1 W_1(t) + \sigma_2 W_2(t) \right) $$

Sabemos que los dos Brownianos $W_1(t)$ y $W_2(t)$ se distribuyen por definición normalmente con media cero y varianza $t$ . Por tanto, sabemos que la suma de estas dos variables con distribución normal tendrá una distribución normal, y acabamos de calcular los momentos anteriores. Por tanto, podemos concluir que:

$$-\sigma_1 W_1(t)+\sigma_2 W_2(t) = (in distribution) = \left( \sqrt{\sigma_2^2t - 2 t \sigma_1 \sigma_2\rho_{1,2} + \sigma_1^2t} \right) Z = \\ = (in distribution) = \\ = \left( \sqrt{\sigma_2^2 - 2 \sigma_1 \sigma_2\rho_{1,2} + \sigma_1^2} \right) \sqrt(t)Z = \\ = (indistribution) = \\ = \left( \sqrt{\sigma_2^2 - 2 \sigma_1 \sigma_2\rho_{1,2} + \sigma_1^2} \right) W_3(t) $$

Donde $W_3(t)$ es otro movimiento browniano estándar.

Answer 3

Muchas gracias por la gran respuesta anterior:). Aquí también he añadido el enlace para la caracterización de Levy del movimiento browniano: http://individual.utoronto.ca/normand/Documents/MATH5501/Project-3/Levy_characterization_of_Brownian_motion.pdf