Aplicación del Teorema de Girsanov a la Trayectoria Browniana Geométrica

Question

Recientemente leí esto de un libro sobre finanzas matemáticas

El ejemplo importante para las finanzas es (único) EMM para el Browniano geométrico. Sea $S_{t}$ el precio de un activo, $${{d{S_t}} \over {{S_t}}} = \mu dt + \sigma d{W_t}$$ y sea $r \ge 0$ la tasa de interés libre de riesgo. Para el martingala exponencial $${Z_t} = \exp \left( { - {t \over 2}{{\left( {{{r - \mu } \over \sigma }} \right)}^2} + {{r - \mu } \over \sigma }{W_t}} \right)$$ el proceso $W_t^Q \buildrel\textstyle.\over= {{\mu - r} \over \sigma }t + {W_t}$ es movimiento Browniano-Q, y el proceso de precios satisface, $${{d{S_t}} \over {{S_t}}} = rdt + \sigma dW_t^Q$$ Por lo tanto, $${S_t} = {S_0}\exp \left( {\left( {r - {1 \over 2}{\sigma ^2}} \right)t + \sigma W_t^Q} \right)$$ y ${S_t}{e^{ - rt}} es un Q-martingala

pero ¿por qué es tan importante esto, el resultado es solo la solución a ${{d{S_t}} \over {{S_t}}} = \mu dt + \sigma d{W_t}$?

Answer 1

Denote $B_t=e^{rt}$ el factor de descuento. Requerir que $S_t/B_t$ sea un martingala significaría que la ecuación $S_0/B_0=E[S_t/B_t]$ se cumpla. Por lo tanto, podemos calcular el precio de una opción descontando el valor esperado en la madurez. Si $S_t/B_t$ no es un Q-martingala, entonces no podemos descontar el valor esperado, lo que hace que el cálculo de $S_0$ sea extremadamente difícil.

Otra cosa a mencionar: no es una solución a $dS_t/S_t=\mu*dt+\sigma*dW$. Es una solución a $dS_t/S_t=r*dt+\sigma*dW^Q$. La primera dinámica no cumple la suposición de precios neutrales al riesgo, es decir, la suposición de no arbitraje. La segunda dinámica es la dinámica correcta para la fijación de precios neutrales al riesgo. Por eso necesitamos el teorema de Girsanov para transformar la dinámica.