¿Por qué no se pueden fijar los niveles de trabajo, capital y producción en competencia perfecta?

Question

Consideremos una empresa que produce con la siguiente tecnología:

\begin{equation} Y = AL^{\alpha}K^{\beta} \end{equation}

Suponiendo que a los factores se les paga su contribución marginal a la producción, puede demostrarse que la elección óptima de factores para esta empresa es:

\begin{equation}\label{eq:k-l ratio} \frac{L^*}{K^*} = \frac{\alpha}{\beta}\frac{r}{w} \end{equation}

(resulta de encontrar el pago de cada factor y combinarlo)

Así pues, lo más lejos que podemos llegar en términos de caracterización del equilibrio en esta economía/empresa se refiere a la relación óptima capital-trabajo relación . En efecto, no se puede decir nada sobre la nivel de entradas y salidas, $L^*$ , $K^*$ o $Y^*$ .

Este no es el caso si sólo hay una entrada. Por ejemplo, si $Y=AL^\alpha$ entonces

$$L^*=\left(\alpha A\frac{p}{w}\right)^{1-\alpha}$$

La razón no está relacionada con el grado de rendimientos a escala, ya que éste no está limitado. Tampoco está relacionada con la elasticidad de sustitución, ya que en el caso de una CES, también es la relación capital-trabajo la que se resuelve. En este caso, la solución es

$$ \frac{L^*}{K^*} = \left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{r}{w}\right)^\sigma $$

Así que la pregunta es, ¿por qué no podemos precisar el nivel de insumos y productos óptimos? ¿Se debe esto a que hemos tratado los precios de los factores como exógenos, por lo que estamos pasando por alto el lado de la oferta de cada mercado de factores?

Answer 1

Así pues, lo más lejos que podemos llegar en términos de caracterización del equilibrio en esta economía/empresa se refiere a la relación óptima capital-trabajo relación . En efecto, no se puede decir nada sobre la nivel de entradas y salidas, $L^*$ , $K^*$ o $Y^*$ .

No creo que esto sea cierto. Has combinado dos ecuaciones en una y, por tanto, has perdido información. El problema de optimización es

\begin{equation} \max_{K,L} p\cdot AL^{\alpha}K^{\beta} - w \cdot L - r \cdot K \end{equation} Tomar derivadas con respecto a $L$ y $K$ da dos condiciones de primer orden y las dos únicas incógnitas son $L$ y $K$ . $$ \alpha \cdot p\cdot AL^{\alpha-1}K^{\beta} = w $$ $$ \beta \cdot p\cdot AL^{\alpha}K^{\beta-1} = r. $$ Como ha señalado, esto implica la ecuación de minimización de costes de $$ \frac{L^*}{K^*} = \frac{\alpha}{\beta}\frac{r}{w}, $$ pero ¿por qué ir por ahí? Podrías conseguir $$ L = \left(\frac{r}{\beta \cdot p\cdot A K^{\beta-1}}\right)^{\frac{1}{\alpha}} $$ e introdúzcalo en la primera ecuación, obteniendo $$ \alpha \cdot p\cdot A\left(\frac{r}{\beta \cdot p\cdot A K^{\beta-1}}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}}K^{\beta} = w. $$ Y entonces $$ K^{\frac{\alpha\beta - (\alpha-1)(\beta-1)}{\alpha}} = K^{\frac{\alpha + \beta - 1}{\alpha}} = \frac{w}{\alpha \cdot p\cdot A\left(\frac{r}{\beta \cdot p\cdot A}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}}}. $$ Está claro que no es muy bonito, pero tiene solución.

Nota: No he entrado en las condiciones de segundo orden, pero esto es sólo un máximo si $\alpha + \beta < 1$ .

Answer 2

Ok, después de varios análisis de la respuesta de @denesp, y nuestro posterior debate en el chat Creo que tengo la respuesta que buscaba.

Como bien ha señalado @denesp, el problema de optimización arroja dos BDC. Estos son:

\begin{equation} \frac{w}{p} = \alpha AL^{\alpha-1}K^{\beta} \end{equation} \begin{equation} \frac{r}{p} = \beta AL^{\alpha}K^{\beta-1} \end{equation}

Podemos reordenar cada una de ellas, de la forma $L=f(K)$ . Estos son, respectivamente:

$$ L=\left(\frac{\alpha Ap}{w}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}K^{\frac{\beta}{1-\alpha}} $$

$$ L=\left(\frac{r}{\beta Ap}\right)^{\frac{1}{\alpha}}K^{\frac{1-\beta}{\alpha}} $$

Ahora bien, para una parametrización dada (con $p>0$ ), podemos trazar estas funciones en el $\{K,L\}$ espacio. Además, podemos el óptimo relación capital-trabajo, que resulta de igualar el MRTS al MRS. Como he mostrado en la pregunta, esta óptimo viene dada por:

$$ L^*=K^*\left(\frac{r}{w}\frac{\alpha}{\beta}\right) $$

Así pues, ahora podemos trazar las tres funciones mencionadas:

En primer lugar, observe que existe un equilibrio trivial en $K^*=L^*=0$ . En segundo lugar, existe otro equilibrio con insumos y producción óptimos positivos. Naturalmente, este punto cruza el óptimo capital-trabajo relación . Cabe destacar que el nivel de capital y trabajo puede conocerse . Por ejemplo, el capital viene dado por la fórmula que aparece en la respuesta de @denesp.

¿Qué equilibrio elige la empresa? Como bien ha señalado @denesp, el equilibrio no trivial sólo es preferible si existen rendimientos decrecientes a escala ( $\alpha+\beta<1$ ), ya que una producción positiva produce beneficios positivos. Esto puede confirmarse utilizando los SOC o calculando los beneficios óptimos (véase más adelante). En el caso de rendimientos crecientes a escala ( $\alpha+\beta>1$ ), las empresas preferirían no producir, ya que cualquier nivel positivo de producción produce pérdidas.

Sin embargo, el caso más interesante -y el que motivó mi pregunta- es el de los rendimientos constantes a escala. Es fácil ver en el gráfico anterior que bajo CRS, las dos funciones laborales se vuelven lineales . ¿Tienen la misma pendiente que la relación óptima capital/trabajo? Esto depende de si estamos pensando desde un enfoque de equilibrio parcial o general:

• Equilibrio parcial: Para un valor exógeno de $p$ es probable que las dos líneas tengan una pendiente diferente de la relación capital/trabajo. Las tres rectas parten del origen, como se muestra a continuación:

Para encontrar el equilibrio, sin embargo, el gráfico no es del todo útil, porque la elección óptima depende de cómo $p$ se compara con el precio de equilibrio $p^*$ que se menciona a continuación. Si $p>p^*$ una empresa querrá producir hasta el infinito, o lo más alto posible. Por el contrario, si $p<p^*$ las empresas no producirán en absoluto, ya que cualquier producción positiva genera pérdidas.

• Equilibrio general, o largo plazo: considere el caso del precio por encima del equilibrio, $p>p^*$ . Si los beneficios son positivos, más empresas querrán entrar en el mercado. Por ello, una empresa individual tiene el incentivo de cobrar un precio más bajo. Esto sucede hasta que el precio se sitúa en el equilibrio $p^*$ . Este es el precio endógeno que, bajo rendimientos constantes a escala, hace que todas las empresas se muestren indiferentes a producir o no.

Por el contrario, si el precio inicial es inferior al de equilibrio, nadie produce. Por lo tanto, las empresas (consumidores) tienen un incentivo para cobrar (aceptar) precios más altos. Esto ocurre hasta que el precio se convierte en $p^*$ . En este caso, los beneficios son nulos. En indiferencia (como siempre), elegimos el equilibrio no trivial de producción positiva.

Se puede demostrar que el precio de equilibrio viene dado por:

$$ p^* = A\left(\frac{r}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha}\left(\frac{w}{\alpha}\right)^\alpha $$

(por ejemplo, para $A=w=r=1$ y $\alpha=0.5$ , $p^*=2$ )

Pero aquí está el elemento clave de la respuesta. En este precio de equilibrio, las tres funciones lineales que aparecen en el gráfico anterior se fusionan. Su pendiente es la misma. Son indistinguibles. Esto significa que, para la empresa individual y en el equilibrio general , cualquier nivel de capital y trabajo es óptima, siempre que su proporción siga la relación óptima definido anteriormente. En otras palabras, según el SIR, el nivel de los insumos no se puede precisar, porque en cualquier nivel de producción los beneficios son nulos. En consecuencia, cuánto producir es irrelevante.

Obsérvese que, introduciendo la demanda de este bien, podríamos averiguar la agregado demanda de $Y$ que puede ayudarnos a determinar el nivel de entrada *agregado**. Sin embargo, el de la empresa los niveles de entrada y salida no pueden fijarse con precisión. De hecho, el tamaño de las empresas sigue siendo indeterminado. Esto ni siquiera se resuelve introduciendo un número arbitrario de empresas, a menos que se suponga que las empresas son idénticas.

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Nota sobre los precios.

En la discusión con @denesp salió el tema del nivel de precios. A riesgo de tergiversar el argumento de @denesp, sólo mostraré mi conclusión al respecto. A saber, que en el equilibrio general El signo de los beneficios depende únicamente de la naturaleza de los rendimientos a escala.

Consideremos los BDC derivados del problema original. Se reproducen a continuación:

\begin{equation} \frac{w}{p} = \alpha AL^{\alpha-1}K^{\beta} \end{equation} \begin{equation} \frac{r}{p} = \beta AL^{\alpha}K^{\beta-1} \end{equation}

Sin pérdida de generalidad, pueden reescribirse como:

$$ w=p\alpha \frac{Y}{L} $$

$$ r=p\beta \frac{Y}{K} $$

La función de coste viene dada por

$$ C(K,L) = rK + wL $$

Sustituyendo las dos ecuaciones de los factores en la función de costes se llega a

$$ C(K,L) = p\alpha Y + p\beta Y = pY(\alpha+\beta)$$

Dado que los ingresos de la empresa son $pY$ los beneficios lo son:

$$ \pi(K,L) = pY - pY(\alpha+\beta) = pY\left(1-(\alpha+\beta)\right) $$

Es decir, el signo (y el tamaño) de los beneficios dependen del grado de rendimientos a escala. Esto es independiente del nivel de precios (siempre que sea positivo, por supuesto, como se espera de un bien ).

Para que quede más claro, la ecuación anterior para los beneficios es cierta en el equilibrio general . Esto se debe a que al sustituir $w$ y $r$ para los valores endógenos del mercado, estoy suponiendo que los mercados de factores están siempre en equilibrio.

Answer 3

El nivel óptimo de producción se encuentra en el punto de intersección de las curvas de oferta y demanda.

El coste de la mano de obra y del capital conforman la curva de oferta; el coste de producción a distintos niveles de producción.

Pero la curva de demanda es el número total de productos que la gente está dispuesta a comprar a distintos niveles de precio. El problema es que la curva de demanda es inobservable. Existe, pero se desconoce. Una empresa no puede simplemente fluctuar los precios por todas partes para estimar la curva de la demanda. Eso ahuyentaría a los clientes.