En Mandelbrot(1968)'s papel, la fracción de movimiento browniano, que se denota por $B_{H}(t,\omega)$,(t>0) se define por $$B_{H}(0,\omega)=b_{0}$$ $$B_{H}(t,\omega)-B_{H}(0,\omega)=\frac{1}{\Gamma(H+\frac{1}{2})}\{\int^{0}_{-\infty}[(t-s)^{H-1/2}-(-s)^{H-1/2}]dB(s,\omega)+\int^{t}_{0}(t-s)^{H-1/2}dB(s,\omega)\}$$ Tengo dificultad para entender el movimiento browniano fraccional por la auto-estudio.Hay una intuitiva interpretación de esta definición? Por qué el tiempo s puede tener valor negativo? Gracias!
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John Rennie
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Para un movimiento Browniano, si usted espera $dt$, la varianza crecerá linealmente con (proporcionalmente a) $dt$.
Para un movimiento Browniano fraccional, va a crecer con una ley de potencia de $dt$, de hecho en $dt^{H}$, donde $H$ es el exponente de Hurst. Ver wikipedia para obtener más detalles.
Esto significa que la fBM de alguna manera va a mantener la memoria del pasado. Cuando $H$ es menor que 1/2, es decir volver, cuando es mayor que 1/2, será superdiffusive. En $H$, es un movimiento Browniano.
Este papel de la Volatilidad es áspera por Gatheral, Jasson y Rosenbaum da una buena idea de cómo utilizar las propiedades de la fBM en modelización financiera.
El más fenomenológica definiciones en sus libros son probablemente más útil. Si uno utiliza la dimensión fractal, el coeficiente de Hurst, o exponencial del coeficiente de alfa, no es un valor que corresponde a puro movimiento Browniano, un régimen en relación a este valor que corresponde a la persistencia de movimiento, y por el contrario el régimen que corresponde a la anti-persistencia de movimiento. Mandelbrot del libro El (Mal)comportamiento de los Mercados da varios buenos ejemplos.
Sólo el puro movimiento Browniano régimen de no depender del pasado. No se define ninguna de las variables, pero supongo Mandelbrot es mediante el coeficiente de Hurst en la ecuación que dar, en el puro movimiento Browniano es H = 0.5. En este caso, la primera integral da 1 - 1, es decir, no hay dependencia en el pasado (en los tiempos previos a tiempo 0, es decir, "negativo" de la época). Para otros casos (0 <= H <= 1, H != 0.5), el proceso que conduce a la hora cero, y que continúa hasta el tiempo $t$, cada paso en el proceso no depende de los pasos anteriores.
