tasa de convergencia para Monte Carlo

Question

Me gustaría demostrar explícitamente que la tasa de convergencia del método de Monte Carlo es $O(\sqrt{n})$ , donde $n$ es el número de trayectorias de simulación. Supongamos que quiero hacerlo con el precio de una opción de compra europea. Es decir, elijo una solución analítica para el precio y comienzo mi simulación: fijo el número de pasos de tiempo, digamos 100 y elijo una secuencia de trayectorias: $100, 400, 1600, 6400$ y debería ver que el error entre la solución analítica y la generada por MC disminuye en $4$ ? ¿Sería ese el ejemplo de cómo generarlo?

Answer 1

El error de estimación es un variable aleatoria y no un simple escalar. Por ello, al realizar evaluaciones de una sola vez, siempre se podría acabar observando que al utilizar $6400$ proporciona una estimación de precios "mejor" que si se utiliza $100$ de ellos. Lo que importa es investigar la desviación del estimador en lugar de fijarse en los valores puntuales que puede tomar (*)

Para tener una idea gráfica de la tasa de convergencia de Monte Carlo, necesitará un precio exacto con el que comparar sus estimaciones de MC. Para una opción europea y en el marco de la modelización BS, este precio viene dado por la célebre fórmula BS. Denotémoslo por $C$ . Del mismo modo, supongamos que ha elegido un esquema de discretización para su SDE (aunque no es necesario para los créditos contingentes europeos) y ha conseguido simular $N$ caminos, por lo tanto $N$ valores para el precio final del activo $S_T$ : $$ S_T^{(n)},\ \forall n=1,\dots,N $$

• Formar un estimador de Monte Carlo $\hat{C}_n$ del verdadero precio de la opción $C$ utilizando sólo $n$ caminos del total $N$ . $$ \hat{C}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e^{-rT} f(S_T^{(i)}) $$
• Repitiendo esto para todos $n=1,\dots,N$ obtiene una secuencia de estimadores $\{ \hat{C}_n \}_{n=1}^N$ .
• Trazar la secuencia $\{X_n\}_{n=1}^N$ donde $X_n = \vert \hat{C}_n - C \vert$ en una escala logarítmica (eje x = simulaciones utilizadas $n$ , eje y = $X_n$ ).

Debido a la CLT (como señala @Behrouz Maleki), debería observar que la "columna vertebral" de su gráfico es una línea recta de pendiente $-\frac{1}{2}$ como se ilustra en la subtrama inferior (**)

(*) Sólo podemos fijarnos en la varianza porque conocemos el media está bien: Los estimadores de MC son insesgados (dejando a un lado el sesgo relacionado con la discretización, tal y como se explica en la respuesta de @MJ73550).

(**) Puede saltarse las primeras simulaciones y empezar directamente con $n=100$ para evitar contaminar su gráfico.

Answer 2

Dado que hablas de pasos de tiempo, supongo que utilizas un esquema de discretización (como Euler) para simular tu activo. En ese caso, tienes dos errores:

Dejemos que $X$ sea el verdadero activo, dejemos que $X^{M}$ sea el activo discretizado con $M$ pasos de tiempo y dejar que $x^{M,i}$ para $i=1\dots n$ el $n$ caminos.

Es decir $(x^{M,i})_{i=1\dots n}$ es un $n$ -muestra de $X^{M}$

Entonces, tienes..:

$$\mathbb{E}[f(X_T)]-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x^{M,i}_T) = \underbrace{\mathbb{E}[f(X_T)]-\mathbb{E}[f(X^M_T)]}_{\text{discretization error}}+\underbrace{\mathbb{E}[f(X^M_T)]-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x^{M,i}_T)}_{\text{Monte carlo error}}$$

El error de discretización se rige por $\frac{1}{M}$ al poder de la orden del régimen.

El error de MonteCarlo se rige por lo que has dicho.

Answer 3

Si se trata de una opción estándar de tipo europeo, no es necesario tener ningún paso de tiempo y se puede evitar cualquier error de discretización. Puede saltar directamente al tiempo de vencimiento de la opción en $T$ años utilizando la fórmula

$S(T)=S(0) \exp \left( (r-\sigma^2/2)T + \sigma \sqrt{T} g \right)$

donde $g$ es una extracción gaussiana independiente de $N(0,1)$ . Si se comparan los resultados de esta simulación con el resultado de la fórmula de valoración de opciones europeas de Black-Scholes, se debería ver la dependencia de root cuadrada inversa del error.