Equilibrio NE con presión de los productores de Cournot

Question

He tenido un examen (el examen ya está pasado y entregado, pero quiero entender ahora la solución sin esperar) con las siguientes preguntas:

JUEGO

Considere dos empresas que juegan el siguiente juego de dos etapas:

La empresa se enfrenta a la siguiente demanda inversa:

$$ P(Q) = \frac{S+s_1 + s_2}{(Q+k)^{\alpha}}, Q=q_1 + q_2. $$

en la primera etapa, las empresas pueden presionar simultáneamente para aliviar las restricciones comerciales aumentando $s_i$ por cada unidad de $s_i$ cada empresa paga $\frac{s_i^3}{9}$ .

En la segunda etapa se observan mutuamente la elección de los grupos de presión y la cantidad fijada simultáneamente. Los costes de producción son nulos.

Dejemos que $\alpha = 3$ y $k=1$ . Demuestre que existe una NE con $S+s_1 +s_2 > S + s_1^{spne} + s_2^{spne}$ y explicar por qué NO es un subjuego perfecto.

SPNE

El SPNE es fácil de encontrar por inducción hacia atrás, sabemos que en la segunda etapa los beneficios de las empresas son

$$\pi_i = \frac{S'}{(Q+k)^{\alpha}}q_i - \frac{s_i^3}{9},$$

$S'$ es una constante fija en esta etapa, por lo que diferenciando encontramos las mejores respuestas y las cantidades óptimas

$$ q_1 = (q_2 + k)/(\alpha-1)\to q^*_i = \frac{k}{\alpha-1}. $$ .

Anticipando esto, en la primera etapa, la empresa querrá maximizar

$$\pi_i = \frac{S'}{(Q^*+k)^{\alpha}}q^*_i - \frac{s_i^3}{9},$$

derivando en $s_i$ encontramos que la solución es

$$ s^*_i = \sqrt{\frac{3q^*_i}{(Q^* +k)^{\alpha}}} $$

¿Otro SPNE?

He intentado encontrar una NE, pero no he podido. Lo único que puedo encontrar es lo que creo que es otro SPNE en el que las estrategias son:

Ambos juegan $(\hat{s}, q_i^*)$ donde $\hat{s} > s_i^*$ . Si el otro jugador se desvía en la primera etapa, entonces el otro lo castigará en la segunda etapa produciendo algún

$$ q^p $$

tal que $$\pi_1(\hat{s},s_2^* ,q^p,q_2^*) = \pi^{spne}$$ mientras que $$\pi_2(\hat{s},s_2^* ,q^p,q_2^*) < \pi_2(\hat{s},\hat{s} ,q_1^* ,q_2^*) $$ Esto debería ser suponiendo que exista tal $q^p$ -- una amenaza creíble, ya que el jugador puede obtener la misma recompensa que el SPNE anterior, y eficaz, ya que reduce los beneficios del jugador 2 al disminuir la demanda que recibe.

¿Se trata de un equilibrio y es un SPNE o sólo un NE?

Answer 1

Dado que la elección de $q_i$ puede estar condicionada a $(s_i,s_j)$ Las estrategias en este juego son de la forma $(\hat s_i, \hat q_i(s_i,s_j))$ . Para los valores dados $\alpha=3$ y $k=1$ el SPNE puede calcularse como el perfil donde $s^*_i=1/3$ y $q^*_i\equiv 1$ . De hecho, los niveles de producción $q_i^*=1$ son los únicos NE en todos los subjuegos, independientemente del $s_i$ -niveles en la primera etapa. Por lo tanto, el "otro SPNE" que sugieres no es un SPNE.

Pero considera la siguiente estrategia del jugador 1: $\hat s_1=1/3$ y $\hat q_1(s_1,s_2)=\left\{ \begin{array}\ 1 & \ldots & s_2 = 1/3+\epsilon \\ 2 & \ldots & s_2 \ne 1/3+\epsilon \end{array} \right\}$ , donde $\epsilon>0$ . Que la estrategia del jugador 2 sea $\hat s_2=1/3+\epsilon$ y $\hat q_2(s_1,s_2)\equiv 1$ . Entonces $(\hat s_1,\hat q_1)$ es la mejor respuesta a $(\hat s_2,\hat q_2)$ y siempre que $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño como para que desviarse en la primera etapa no sea rentable para el jugador 2, $(\hat s_2,\hat q_2)$ es también la mejor respuesta a $(\hat s_1,\hat q_1)$ . Por lo tanto, el perfil de estrategia correspondiente es una NE con mayor presión total que en la SPNE (pero con los mismos niveles de producción), beneficiando al jugador 1.

Sin embargo, no es subjuego perfecto, ya que si el jugador 2 se desviara en la primera etapa, el jugador 1 no cumpliría su amenaza de duplicar la producción en la segunda etapa. Técnicamente hablando, la NE induce niveles de producción $\hat q_1=2$ y $\hat q_2=1$ en todos los subjuegos tras una desviación del jugador 2 en la primera etapa, pero estos niveles de producción no están en equilibrio en estos subjuegos.

Answer 2

Asumiré que $S$ es una constante. Por cierto, la solución para el SPNE es $q_i = \frac{k}{\alpha - 2}$ que se deriva de $q_i = (q_j + k)/(\alpha - 1) = ((q_i + k)/(\alpha - 1) + k)/(\alpha - 1)$ .

Para responder a su pregunta, hay que saber qué hace SPNE. En realidad, se trata de un perfeccionamiento de la NE mediante la eliminación de las amenazas no creíbles. Sabiendo esto, la idea sería que, firme $i$ pretende comprometerse con un nivel de producción y, por tanto, maximiza su beneficio. Sin embargo, en la segunda fase del juego, puede salir mejor parado si se desvía de su compromiso. Entremos en los detalles.

Desde $q_j = (q_i + k)/(\alpha - 1)$ , sustitúyalo en el reproductor $i$ de la función de recompensa, obtenemos \begin{equation} \pi_i = \dfrac{S+s_i + s_j}{(q_i + \frac{q_i + k}{\alpha - 1} + k)^\alpha}q_i - \dfrac{s_i^3}{9} \quad \Longrightarrow \quad q_i^C = \dfrac{k}{\alpha - 1}. \end{equation}

La mejor respuesta del jugador $j$ es elegir $q_j^C = \frac{q_i + k}{\alpha - 1} = \frac{\alpha k}{(\alpha - 1)^2} $ .

Sustituir el nivel óptimo de producción por el jugador $i$ de compromiso, puedes conseguir $s_i$ y $s_j$ que tendrá una suma mayor que la de SPNE.

Sin embargo, en la segunda etapa, el jugador $i$ sabe que el jugador $j$ elegirá $q_j^C=\frac{\alpha k}{(\alpha - 1)^2}$ si puede comprometerse a $q_i^C = \frac{k}{\alpha - 1}$ Entonces, ¿cuál es la mejor respuesta del jugador $i$ ? Te dejaré esto para que descubras a ese jugador $i$ La mejor respuesta de la empresa ahora es diferente a la de $q_i^C$ . Por lo tanto, no se trata de un SPNE.

Sin embargo, mientras el jugador $i$ se desvía de $q_i^C$ , jugador $j$ también ajustará su nivel de producción, y al final alcanzarán el SPNE. Por lo tanto, $q_i^C$ y $q_j^C$ sólo puede ser una NE si el jugador $i$ tiene el poder de compromiso. Una nota al margen es que $q_i^C$ es mayor que el nivel de producción bajo SPNE, por lo que el jugador $i$ es mejor al poder comprometerse.

Esto está estrechamente relacionado con el Competencia de Stackelberg modelo en el que una empresa se compromete a un nivel de producción trasladándose primero. En este caso, elimina la posibilidad de que se aleje de su elección de producción comprometida en la segunda etapa. Sabe que se desviará en la segunda etapa, así que elige una forma de comprometerse con un determinado comportamiento eliminando la posibilidad de desviarse en el futuro. Esto también arroja algo de luz sobre el problema del autocontrol. El poder del compromiso nos beneficia en muchos casos.