Un consumidor con ingresos $m$ tiene preferencias $U(x , y) = x^a y^{1-a} $ donde a está entre 0 y 1. Un Gobierno paternalista quiere regular las elecciones del consumidor para maximizar su propia función de bienestar: $w(x,y) = \min(x,y)$ . Los precios de mercado son $p_x$ y $p_y$ .
A. Supongamos que el gobierno puede imponer un límite al consumo de cualquiera de los dos bienes. ¿Bajo qué condición de parámetro es necesario imponer un techo al bien $x$ ? B. Supongamos, en cambio, que el gobierno subvenciona por unidad el bien $x$ y cobrar un impuesto a tanto alzado $t$ . Derivar la demanda marshalliana para cualquier $(s,t)$ . C. Una política $(s,t)$ el presupuesto está equilibrado si la subvención total pagada es igual al impuesto. Deduzca la relación entre $s$ y $t$ que debe satisfacer cualquier política de equilibrio presupuestario. D. Desde la perspectiva del gobierno, encontrar los valores óptimos de s y t sujetos a un presupuesto equilibrado.
Así es como lo probé: Parte A: Utilización de métodos de optimización, desde la perspectiva del consumidor: $$ X^*= (x^*,y^*) = \left( \frac{ am}{ p_x} , \frac{(1-a)m}{p_y} \right) $$
Sin embargo, el bienestar del Gobierno se maximiza en : $$ X^g= (x^g,y^g) = \left( \frac{ m}{ p_x + p_y} , \frac{m}{p_x + p_y} \right) $$
A continuación, consideré dos casos: $$ 1. X^* > X^g $$ $$ 2. X^* < X^g $$
En el primer caso, el límite máximo del bien 2 sería efectivo, mientras que en el segundo caso, el límite máximo del bien 1 sería efectivo, siendo el límite máximo la cantidad óptima desde la perspectiva del gobierno. La condición del parámetro para el segundo caso, comparando las cantidades del bien , era:
$$ \frac{p_y}{p_x} > \frac{1}{a} -1$$
Parte B: Problema de optimización simple:
$$ X^*= (x^*,y^*) = \left( \frac{ a(m-t)}{ p_x - s} , \frac{(1-a)(m-t)}{p_y} \right) $$
Parte C: Poner $sx^* = t$ I $$s = \frac{p_x t}{a(m-t)+ t}$$ Parte D: No estoy seguro de si el método que he utilizado es correcto o no.
El bienestar del Gobierno se maximiza en : $$ X^g= (x^g,y^g) = \left( \frac{ m-t}{ p_x + p_y-s} , \frac{m-t}{p_x + p_y-s} \right) $$
Además, como el presupuesto está equilibrado, por lo tanto $$ s*\frac{ m-t}{ p_x + p_y-s}= t $$
Ahora poniendo la relación s y t de la parte c en la identidad de presupuesto equilibrado anterior, obtengo
$$ t^* = \frac {m(p_x(1-a) -ap_y)}{(p_x +p_y)(1-a)} $$
$$ s^* = p_x - \frac{a p_y}{1-a} $$
¿Puede alguien echar un vistazo a mi solución y ver si lo he hecho correctamente?
