La varianza de Movimiento Browniano

Question

Puede que alguien me apunte en la dirección correcta para calcular este: $E(B^4_t)=3t^2$

Yo había probado el uso de la siguiente propiedad sin suerte:

$E(B^4_t)=E(B^2_tB^2_t)=E(\int B^2 dt )E(\int B^2 dt )=[E(\int B^2 dt )]^2=[\int E(B^2) dt]^2=[\int t dt]^2$

Cualquier otra sugerencia será bienvenida. Gracias!

Answer 1

En el tiempo $t$, el Movimiento Browniano $B_t$ es simplemente una variable aleatoria normal $N(0,t)$.

El Momento de Generación de la Función normal $N(\mu\sigma^2)$ variable aleatoria es la siguiente: $$M(x) = exp(\mu x + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2)$$ Además, el cuarto momento es dado como la cuarta derivada de esta ecuación: $$M""(x) = exp(\mu x + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2)\Big (\mu + \sigma^2)^4 + 6\sigma^2(\mu + \sigma^2 x)^2 + 3\sigma^4 \Big)$$ Así que la expectativa de $B_t^4$ es apenas el cuarto momento, evaluado en $x=0$ (con parámetros de $\mu = 0$, $\sigma^2 = t$): $$E(B_t^4) = M""(0) = 3\sigma^4 = 3t^2 $$

Answer 2

Aplicar Itô del Lema a $W_t^4$: $$ \text{d}(W_t^4)=4W_t^3\text{d}W_t+6W_t^2\text{d}t$$

Integrar: $$ W_t^4=4\int_0^tW_s^3\text{d}W_s+6\int_0^tW_s^2\text{d}$s$

El primer término es una integral de Itô, que es por la construcción de una martingala, con la expectativa $0$ por lo tanto: $$E[W_t^4]=6\int_0^tE[W_s^2]\text{d}s=6\int_0^ts\text{d}s=3t^2$$