Derivada de Radon Nikodym al cambiar de numerario

Question

Observo de Wikipedia que si $Q$ y $Q^N$ son dos medidas correspondientes a los numerarios $M$ y $N$ , entonces la derivada de Radon Nikodym viene dada por: $$\frac{dQ^N}{dQ} = \frac{M(0)}{M(T)}\frac{N(T)}{N(0)}.$$

Sin embargo, no entiendo cómo esta fórmula se desprende de la definición tradicional de una derivada de Radon-Nikodym, que es una variable aleatoria tal que lo siguiente se mantiene para toda RV $Z$ : $E_N(Z)=E_M\left(\frac{dQ^N}{dQ}Z\right)$

Answer 1

Cualquier variable aleatoria no negativa $Z$ con expectativa 1 es una derivada de Radon-Nikodym: $$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}} \left(Z\right) = \mathbb{E}^{\mathbb{P}} \left(\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}\right) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(1\right) = \int{\mathrm{d}\mathbb{Q}} = 1 $$ $$ \mathbb{Q} \left(A\right) = \mathbb{E}^\mathbb{P} \left(Z 1_A\right) \in \left[0, 1\right] $$ Si $Z$ es positiva, la medida de probabilidad $\mathbb{Q}$ que define es equivalente a la medida de probabilidad original $\mathbb{P}$ .

Ahora, por definición de un numerario, bajo su medida de probabilidad asociada, todos los precios de los activos expresados como unidades del numerario son martingalas. Para $\mathbb{Q}$ con el numerario $M$ y $N$ un proceso positivo de precios de los activos, $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(\frac{N_T}{M_T}\right) = \frac{N_0}{M_0} \Rightarrow \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(\frac{M_0}{M_T}\frac{N_T}{N_0}\right) = 1 $$ Dado que siempre se elige un proceso de precios de activos estrictamente positivo, la variable aleatoria $\frac{M_0}{M_T}\frac{N_T}{N_0}$ define la derivada de Radon-Nikodym de medida $\mathbb{Q}^N$ con respecto a $\mathbb{Q}$ . Si $X$ es un proceso de precios de activos (arbitrario), $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^N} \left(X_T \frac{N_0}{N_T}\right) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(X_T \frac{N_0}{N_T}\frac{M_0}{M_T}\frac{N_T}{N_0}\right) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(X_T\frac{M_0}{M_T}\right) = X_0 $$ Eso demuestra que $N$ es efectivamente el numerario de la medida $\mathbb{Q}^N$ .

Answer 2

Para cualquier proceso de precios $Z$ dado que $N$ y $M$ son procesos numéricos, \begin{align*} E_N\left(\frac{Z_T}{N_T} \right) = E_M\left(\frac{Z_T}{M_T}\frac{M_0}{N_0} \right), \end{align*} ya que ambos son iguales a $Z_0/N_0$ . Tenga en cuenta también que \begin{align*} E_N\left(\frac{Z_T}{N_T} \right) = E_M\left(\frac{dQ_N}{dQ_M}\frac{Z_T}{N_T} \right). \end{align*} Entonces \begin{align*} E_M\left(\frac{dQ_N}{dQ_M}\frac{Z_T}{N_T} \right) &= E_M\left(\frac{Z_T}{M_T}\frac{M_0}{N_0} \right)\\ &=E_M\left(\frac{N_T}{M_T}\frac{M_0}{N_0}\frac{Z_T}{N_T}\right). \end{align*} Desde $\frac{Z_T}{N_T}$ puede ser arbitraria, concluimos que \begin{align*} \frac{dQ_N}{dQ_M} = \frac{N_T}{M_T}\frac{M_0}{N_0}. \end{align*}