Suma de dos modelos GARCH(1,1)

Question

Tengo dos Procesos GARCH(1,1) ( $q=1,2$ )

$$\sigma_{q,t} = \gamma_q + \alpha_q \, \sigma^2_{q,t-1} + \beta_q \, \epsilon^2_{q,t-1}$$

que tienen una correlación constante $\sigma_{12,t} = \rho \, \sigma_{1,t} \, \sigma_{2,t}$ . A veces se denomina CC-GARCH(1,1).

¿Es la suma (ponderada) de estos dos procesos un proceso GARCH? Si es así, digamos que mi peso en el segundo proceso es $w_2$ ( $w_1=1$ ) es posible calcular $\gamma$ , $\alpha$ y $\beta$ para este nuevo proceso?

Answer 1

Permítanme utilizar una notación a la que estoy más acostumbrado:

$$\sigma^2_{i,t} = \omega_i + \alpha_i\varepsilon^2_{i,t-1} + \beta_i\sigma^2_{i,t-1}$$

donde $i=1,2$ . Desde

$$\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + \text{Corr}(X,Y)\sqrt{\text{Var}(X)}\sqrt{\text{Var}(Y)}$$

y

$$\text{Var}(x_{1,t})=\sigma_{1,t}^2, \ \ \ \text{Var}(x_{2,t})=\sigma_{2,t}^2 \ \ \ \text{and} \ \ \ \text{Corr}(x_{1,t},x_{2,t})=\rho,$$

tenemos

$$\begin{align} \text{Var}(x_{1,t}+x_{2,t}) &= \sigma_{1,t}^2 + \sigma_{2,t}^2 + \rho \sigma_{1,t} \sigma_{2,t} \\ &= (\omega_1 + \alpha_1\varepsilon^2_{1,t-1} + \beta_1\sigma^2_{1,t-1}) + (\omega_2 + \alpha_2\varepsilon^2_{2,t-1} + \beta_2\sigma^2_{2,t-1}) \\ &+ (\rho\sqrt{\omega_1 + \alpha_1\varepsilon^2_{1,t-1} + \beta_1\sigma^2_{1,t-1}} \sqrt{\omega_2 + \alpha_2\varepsilon^2_{2,t-1} + \beta_2\sigma^2_{2,t-1}}) \end{align}$$

que no parece coercible a la forma de

$$\sigma^2_{t} = \omega + \alpha\varepsilon^2_{t-1} + \beta\sigma^2_{t-1}$$

para cualquier $(\omega,\alpha,\beta)$ . Por lo tanto, generalmente una suma de dos procesos GARCH(1,1) es no un proceso GARCH(1,1). (Digo esto sin una prueba formal).

Un caso muy especial que es coercible es cuando $\alpha_1=\alpha_2, \beta_1=\beta_2$ y $\rho=0$ Entonces $\omega=\omega_1+\omega_2,\alpha=\alpha_1=\alpha_2,\beta=\beta_1=\beta_2$ . Este es el caso cuando la dinámica de la varianza condicional es la misma para ambas series y la única diferencia potencial en los dos modelos GARCH es el nivel de base potencialmente diferente $\omega_1$ frente a $\omega_2$ .