Integración logarítmica normal

Question

El modelo log normal habitual en forma diferencial es:

$dS = \mu S dt + \sigma S dX$

donde $dX$ es la parte estocástica, por lo que

$\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dX$ (1)

y normalmente lo resolvemos sustituyendo por $Y=\log(S)$ . ¿Qué nos impide integrar (1) para conseguir

$S = \exp\left(\mu t + \sigma\mathcal{N}(0,1)\right)$ ?

¿Por qué tenemos que pasar por todo el asunto de la sustitución de $Y$ y utilizando el lema de Ito?

Answer 1

Lo que tienes que empezar es:

$$dS_t=\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$

donde $W_t$ es un movimiento browniano estándar ( SBM ).

Usted quiere resolver para $S_t$ ¿Cómo se puede proceder?

Si se integran ambos lados de la ecuación entre 0 y $T$ lo consigues:

$$S_T - S_0= \mu \int_0^T S_t dt + \sigma \int_0^T S_t dW_t$$

Bien, ¿y luego qué? El hecho de que tengas $S_t$ en ambas integrales es problemática.

La cuestión es que para resolver $S_t$ En efecto, hay que utilizar un poco de truco, y la sustitución y la aplicación del lema de Ito permiten deshacerse del $S_t$ a medida que se va obteniendo:

$$dY = d(\ln S_t)=\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) dt +\sigma dWt$$

La integración posterior es sencilla.

Por lo tanto, se utiliza el truco para deshacerse de la $S_t$ en las integrales y para poder resolver fácilmente.