La Prima de riesgo de la Utilidad Esperada de la Teoría

Question

Considere la posibilidad de un agente con la función de utilidad de $u$, inicial riqueza $\omega$, y una variable aleatoria $x$. Por definición de la prima de riesgo de $R$, tenemos

$$ De la ue(w+x) = u(w+E(x)-R). $$

El clásico de la derivación de la prima de riesgo es la siguiente:

Una expansión en series de Taylor de orden 2 en el barrio de $(\omega + E(x))$ de la mano izquierda (LHS) da

$$u(\omega+x) \aprox u[\omega+E(x)] + u'[x-E(x)] + \frac{1}{2} u"[x-E(x)]^2,$$

Una expansión en series de Taylor de orden 1 en el barrio de $(\omega + E(x) - R)$ de el lado derecho (RHS) da

$$u(\omega + E(x)-R) \aprox u(\omega+E(x)) - u R.$$

Teniendo la expectativa de la primera expansión de la serie y la combinación de los resultados de las dos series con la definición de la prima de riesgo de los rendimientos

$$u(\omega + E(x)) + u E[x-E(x)] + \frac{1}{2} u"E[x-E(x)]^2 \aprox u(\omega+E(x)) - u R.$$

Esto implica

$$R \aprox - \frac{1}{2} \frac{u}{u} E[x-E(x)]^2.$$

Mi comprensión de esta derivación es que podemos tomar de 2 o de orden superior, la expansión de la LHS, si queremos que la prima de riesgo se relaciona no sólo con la varianza de $R$, pero también a los mayores momentos de $R$.

Sin embargo, hay alguna (económico) racional para el primer orden de expansión de la RHS? Y por su barrio diferente de la evaluación?

Answer 1

Hay alguna (económico) racional para el primer orden de expansión de la RHS? Y por su barrio diferente de la evaluación?

En cuanto a tu primera pregunta:
Esto es puramente matemático táctica con el fin de obtener una (aproximado) la ecuación de $R$. La expansión de primer orden en el lado derecho es motivado por este hecho, es decir, traer $R$ solo "en la superficie". La razón por la que el lado izquierdo es sometido a un segundo orden de expansión está en orden para que algo sea a la izquierda (la varianza de la duración). De orden superior, las expansiones de la LHS, ciertamente, puede ser aplicado.

En cuanto a tu segunda pregunta, usted está cometiendo un error. El centro de expansión de la RHS de expansión es el mismo que el de la LHS de expansión, es decir, $le(x)$ (o, equivalentemente, de alrededor de $R=0$). Es de sentido (y no) para expandir una función alrededor de su argumentación exacta. Específicamente hemos

$$u\a la izquierda(w+E(x)-R\derecho) \aprox u\a la izquierda(w+E(x)\derecho) + u'\cdot [(w+E(x)-R)-(w+E(x))] = u\a la izquierda(w+E(x)\derecho) - u'\cdot R$$

Por último, ¿por qué no considerar un segundo orden de expansión en el lado derecho? Entonces podríamos obtener

$$u\a la izquierda(w+E(x)-R\derecho) \aprox u\a la izquierda(w+E(x)\derecho) + u'\cdot [(w+E(x)-R)-(w+E(x))] \\+\frac 12 u"\cdot [(w+E(x)-R)-(w+E(x))]^2 $$

$$= u\a la izquierda(w+E(x)\derecho) - u'\cdot R + \frac 12 u"\cdot R^2$$

A continuación, nos gustaría obtener un polinomio cuadrático en $R$,

$$\frac 12 u"\cdot R^2 - u'\cdot R - \frac 12 u"\sigma^2_x = 0$$

$$\ R^2 - \frac {2u'}{u}\cdot R - \sigma^2_x = 0$$

Esto tiene raíces

$$R_1,R_2 = \frac {(2u'/u) \pm \sqrt{(2u'/u)^2+4\sigma^2_x}}{2}$$

$$\implica R = \frac{u}{u} + \sqrt{\left( \frac{u}{u}\derecho)^2+\sigma^2_x}$$

Usted puede totalmente válidamente utilizar esta expresión para $R$, pero creo que entiendo por qué la más simple es usado en su lugar.

Answer 2

Vale la pena señalar que la "prima de riesgo" de las que están hablando es de hecho más precisión se refiere a la Arrow-Pratt aproximación del costo de un pequeño aditivo de riesgo. Usted puede aproximado sin embargo que usted desea (y un desarrollo en serie de Taylor aproximación es una manera imparcial de hacerlo), pero en última instancia, usted sólo necesita hacer eso para proporcionar una sencilla explicación de otros, más interesantes conceptos sobre la economía de los riesgos.

Mi comprensión de los distintos niveles de aproximación a los diferentes niveles de la varianza y el movimiento en las funciones que se aproximan. La utilidad esperada varían en una forma cóncava con el riesgo añadido de x, mientras que la utilidad de la diferencia entre la certeza equivalente y la prima de riesgo se acerca más a una función lineal.