Plaza de Wiener proceso

Question

En Ito de cálculo a menudo uno se $dW^2=dt$. ¿Cómo funciona eso? ¿Cuál es la relación con la Milstein método?

Answer 1

En general $dX^2$ es un ad-hoc o heurística formulario de $d\langle X, X\rangle_t$, donde $\langle X, X\rangle_t$ es la variación cuadrática, la cual es definida por \begin{align*} \langle X, X\rangle_t = \lim_{\pi\rightarrow 0} \sum_{i=1}^n (X_{t_i}-X_{t_{i-1}})^2. \end{align*} Aquí, $0=t_0 < \cdots < t_n = t$ y $\pi = \max\{ t_i-t_{i-1}, i=1,\ldots, n\}$.

Para un movimiento Browniano $\{W_t, t \ge 0\}$, se puede demostrar que $\langle W, W\rangle_t = t$. Por lo tanto \begin{align*} dW^2 = d\langle W, W\rangle_t = dt. \end{align*}