Acerca de la definición de un mercado completo

Question

En Steven Shreve del libro "Cálculo Estocástico para las Finanzas De 2", Definición 5.4.8 dice que un mercado es completo si cada derivados de la seguridad puede ser cubierto. ¿Qué hace exactamente cada derivado de seguridad de la media? El libro de Ch.5 sólo se ha considerado Europea opciones. Pero en la prueba del Teorema 5.4.9, se construye un derivado de seguridad cuya rentabilidad $V(T)$ es el camino dependientes. Parece que esto es un caso para la opción Americana. Es lo que cada pago $V(T)$, que es una función medible en $\mathcal{F}(T)$ es un derivado de la seguridad, y todos los derivados de la seguridad puede ser definido de tal manera?

Answer 1

La mejor manera de entender es volver a un período de binomio de precios de opciones. Esto también se discute en Shreve es: "Cálculo Estocástico para las Finanzas de 1" de libro.

Hay un buen artículo sobre un período de binomio de precios de opciones aquí. Usted tendrá que entender:

• Aunque hay infinidad de formas para asignar un periodo de probabilidad, hay una única solución a los neutrales al riesgo probabilidad. Cualquier otra cosa no es un riesgo-neutral de la probabilidad.
• Si tenemos la única neutrales al riesgo probabilidad, sabemos que no habrá oportunidad de arbitraje.
• Si sabemos que no habrá oportunidad de arbitraje, sabemos que podemos cobertura (o reproducir) cualquier pago.

Como se puede ver, están vinculados. Si usted no puede cobertura en algo, no hay ningún riesgo-neutral de la probabilidad, y no es el arbitraje. Además, si no hay arbitraje no puede realmente el precio de la opción.

Ahora, vamos a ir de nuevo a su pregunta. Recuerdo continuo de precios de opciones es realmente infinito de un período de árboles binomiales. No hablamos discretas de probabilidad más, podemos utilizar el término probabilidad de medida (por ejemplo, riesgo neutral probabilidad de medida).

Modelo completo, básicamente, significa que todo lo que acabamos de decir:

• Es un modelo completo si podemos cobertura (replicar) todo
• Si podemos cobertura de todo, hay un único neutrales al riesgo probabilidad (Segundo teorema fundamental - Teorema de 5.4.9 en el libro)
• Si tenemos un único neutrales al riesgo probabilidad, no hay arbitraje (Primer teorema fundamental de la valuación de activos - Teorema de 5.4.7 en el libro)

Shreve, a continuación, habla de Radon-Nikodym derivado, que es sólo una manera de relacionar el real y el riesgo-neutral medida.

Así, cuando el libro dice "completo del mercado", que significa un mercado perfecto donde todos los factores de riesgo puede ser cubierto a la perfección, sin costes de transacción, para sorpresa de nadie, nos puede el precio de una opción (Black-Scholes), y es falso (nuestro mercado es no completa).

Answer 2

La definición precisa de un derivado de la seguridad, en el marco utilizado por Shreve es el siguiente: sea $S(t)$ denotar una seguridad o una familia de valores (en el multidimensional modelo de mercado, que es de $S(t) = (S_1(t), \cdots, S_n(t))$. A continuación, un derivado de la seguridad está determinada en el tiempo $T$ por la condición de tener una rentabilidad de $V(T)$, que se puede expresar como $V(T)=g(S(T))$, con $g$ de $\mathcal{F}(T)$medible de la función.

Este es matemáticamente correcta definición, por lo que, en particular, para una opción call Europea con la huelga de $K$ tiene $g(x)=(x-K)^+$, y así sucesivamente. Ahora, mira la prueba del Teorema 5.4.9. en este caso usted tiene una rentabilidad define como $V(T)=\mathbf{1}_A\cdot (D(T))^{-1}$. En este caso, la seguridad $S(T)$ es de solo $D(T)$ y $g(x)$ es medible porque $A$ es claramente un $\mathcal{F}(T)$-medible conjunto.

Sin embargo, es verdad que el Shreve nunca explícitamente se define en el libro lo que él significa, precisamente, por "derivado de la seguridad".