¿Está la duración realmente relacionada de forma inversa con la duración del vencimiento de un bono?

Question

Siempre se dice que los bonos más largos son más sensibles a los tipos de interés. Intuitivamente, esto tiene mucho sentido, ya que los bonos más largos tienen una mayor parte de su flujo de caja sujeta a ajustes más fuertes de los tipos de interés, y por lo tanto su valor debe ser más sensible a los tipos de interés.

Cuando traté de probar esto cuantitativamente, las cosas parecen complicarse más. Supongamos que un bono con valor nominal $a$ paga los cupones del importe $y$ anualmente. Si el tipo de interés es $r$ entonces el valor del bono es.

$$ P=\frac{y}{r}[1-\frac{1}{(1+r)^{n}}]+\frac{a}{(1+r)^{n}} $$

Y la variación relativa del precio del bono con respecto al tipo de interés es

$$ \frac{1}{P}\frac{dP}{dr} $$ donde $$ \frac{dP}{dr}=y\left\{ [1-(1+r)^{-n}](-r^{-2})-nr^{-1}(1+r)^{-n-1}\right\} -an(1+r)^{-n-1} $$ $$ =\frac{\frac{y}{r^{2}}(1+r-\frac{n}{r})-an}{(1+r)^{n+1}}-\frac{y}{r^{2}} $$ Por lo tanto, $$ \frac{1}{P}\frac{dP}{dr}=\frac{y(1+r-\frac{n}{r}-(1+r)^{n+1})-anr^{2}}{\left\{ yr[(1+r)^{n}-1]+ar^{2}\right\} (1+r)} $$

Supongamos que los bonos a largo plazo son realmente más sensibles a las variaciones de los tipos de interés, entonces la ecuación anterior debería ser siempre negativa, y su valor debería disminuir a medida que aumenta n. Pero tengo problemas para ver esto en la ecuación anterior. De hecho, los resultados numéricos sugieren lo contrario:

El gráfico anterior muestra la variación porcentual del precio de los bonos cuando el interés aumenta un 1%. El bono paga un cupón anual del 6%. Cada curva representa un bono sometido a un tipo de interés diferente. Por ejemplo, la curva púrpura del centro representa el cambio relativo en el precio de un bono que paga un cupón del 6% con un tipo de interés del 9%. El eje vertical es la variación relativa del precio y el eje horizontal es la duración del bono.

Podemos ver en el gráfico que, inicialmente, el precio de los bonos disminuye más rápidamente a medida que aumenta la longitud, pero pronto alcanza una tasa máxima de disminución y, finalmente, la tasa parece retroceder hacia un valor límite.

Esto deja dos preguntas:

1. En cuanto al dicho de que "los bonos más largos son más sensibles a los tipos de interés", ¿es una afirmación que es cierta para la mayoría de los casos prácticos, o es una afirmación que siempre es cierta matemáticamente?

2. ¿Cómo podemos derivar algebraicamente los resultados que se ven en el gráfico para responder a preguntas como dónde se produce la tasa máxima de disminución y cuál es el valor límite, si es que existe?

Answer 1

Supongamos un número de bonos con tres variables constantes, valor nominal $par$ Valor del cupón $C$ (pagado anualmente), y el tipo de interés $r$ y una variable cambiante, el tiempo de maduración $n$

En primer lugar, las fórmulas pertinentes:

El precio $P$ de cada bono, como ya lo has escrito, es

$$ P=C*[\frac{1}{r}-\frac{1}{r}*\frac{1}{(1+r)^{n}}]+\frac{par}{(1+r)^{n}} $$

La duración $D$ de cada enlace es

$$ D = \sum_{t=1}^{n}{w_t*t} $$

donde $w_t$ est

$$ w_t = \frac{C_t}{(1+r)^t}*\frac{1}{P} $$

La volatilidad $V$ (duración modificada) de cada bono es

$$ V = \frac{D}{(1+r)} $$

La duración modificada $V$ da una medida exacta de la exposición del bono a los tipos de interés. Así, la sensibilidad del precio del bono a los tipos de interés es

$$ \frac{\Delta P}{P} = -V*\Delta r $$

Ahora bien, si se juntan todos estos datos, se deduce fácilmente que "cuanto más largo sea el bono, mayor será la sensibilidad a los tipos de interés".

En primer lugar, probablemente sea fácil ver cómo $P$ se refiere a $n$ . Como $n$ sube $P$ también sube. Como $n$ Sin embargo, la tasa de aumento del precio disminuye y finalmente se acerca cada vez más a $\frac{C}{r}$ (fórmula de perpetuidad). Sin embargo, se asciende constantemente.

Del mismo modo, como $n$ aumenta, la duración de los bonos $D$ también aumenta. También se acerca a un límite, pero aumenta continuamente.

A estas alturas ya deberías ver a dónde quiero llegar con esto. Como $D$ se hace más grande, $V$ también se hace más grande. Como $V$ La sensibilidad del precio de los bonos a los tipos de interés también aumenta.

Se deduce entonces que como $n$ Si el bono se hace más grande (el bono se vuelve "más largo"), la sensibilidad del precio del bono a los tipos también aumenta.

Para ver un ejemplo numérico también eche un vistazo a los siguientes gráficos:

$C = 100,\ par = 1000,\ r = 0.05,\ \Delta r = 0.001$

$P(n)$

$D(n)$

$\frac{\Delta P}{P}$ para $0.001$ aumento de $r$ (el gráfico dice "0,01 dr". Eso es incorrecto. El cambio en r es de 0,001)

$\frac{\Delta P}{P}$ para $0.01$ aumento de $r$ para múltiples $r$ niveles

Al final termino con un gráfico similar al tuyo pero sin resultados sorprendentes. No hay ninguna línea de cambio de precio de los bonos que se curve hacia arriba. Todas las líneas se acercan cada vez más a su límite y luego se mueven hacia la derecha casi horizontalmente.

Para resumirlo en términos de cálculos algebraicos y así abordar también tu segunda pregunta tenemos lo siguiente:

$$ \lim_{n \to +\infty}P = \frac{C}{r} $$

$$ \lim_{n \to +\infty}D = 1+\frac{1}{r} $$

$$ \lim_{n \to +\infty}V = \frac{1}{r} $$

Desde el punto de vista matemático, las fórmulas confirman la respuesta a la primera pregunta para todos los números, no sólo los prácticos, y también permiten calcular los límites correspondientes.

Los números y los gráficos utilizados en el ejemplo numérico anterior se ajustan también a estas fórmulas de límite. El precio del bono se aproxima $2000$ que según la fórmula anterior es $100/0.05$ la duración de los bonos se aproxima $21$ que es $1 + 1/0.05$ , enfoques de volatilidad $20$ que es $1/0.05$ y la sensibilidad del precio de los bonos a los tipos de interés se aproxima $-0.02$ que es $0.001*(-20)$

Answer 2

No soy un comerciante de bonos y no he mirado esto en años, así que mis cantidades pueden no estar definidas exactamente según la convención, pero es generalmente correcto.

Para responder a tu pregunta, debes replantear el valor actual del bono utilizando exponenciales. Esta nueva formulación es exactamente equivalente a la que escribiste, pero mucho más manejable algebraicamente (ten en cuenta que mi tipo de interés $r$ no es exactamente igual a la suya, hay que ajustarla con los métodos habituales).

Así que:

$$ P = y \Sigma e^{-rt_n} + a e^{-rt_N} $$

Ahora es trivial diferenciar esto:

$$ \frac{1}{P}\frac{dP}{dr} = \frac{y \Sigma t_n e^{-rt_n} + a t_N e^{-rt_N} }{P} = D ! $$

Bingo, ¡esa es la definición de la duración de tu bono!

La derivada del PV de su bono es el tiempo de pago ponderado de sus cupones. Se trata de una relación exacta, y no sólo de una aproximación.