El precio de un contrato a plazo sobre un bono cupón cero

Question

Estoy tratando de calcular el precio de un contrato a plazo sobre un bono cupón cero (ZCB). El contrato a plazo con vencimiento a $t_1$ y el ZCB madura en $t_2$. Así es el precio de los delanteros contrato sólo la relación de (precio de ZCB que madura en $t_2$) / (precio de ZCB que madura en $t_1$) ?

Answer 1

Otra forma de obtener este resultado es, como mencioné en el comentario, para pensar en cómo se podría replicar el contrato forward. Se tiene el siguiente flujo de caja de la estructura:

 type          | t                  | t1                      | t2
----------------------------------------------------------------------------
 forward       | 0                  | +P(t1, t2) - K          | 0

Aquí, también el uso de $P(t_1, t_2)$ para indicar que el tiempo $t_1$ precio del bono cupón cero con vencimiento en $t_2$. $K$ es el justo precio de entrega del contrato forward.

Replicar este contrato por tomar una posición larga en el cupón cero con vencimiento $t_2$ y el financiamiento de la compra por la venta del bono cupón cero con vencimiento en $t_1$ por un nominal que produce una corriente de efectivo de entrada de $P(t, t_2)$. Usted obtener

 type          | t                  | t1                      | t2
-----------------------------------------------------------------------------
 long ZCB t2   | -P(t, t2)          | +P(t1, t2)              | 0
 short ZCB t1  | +P(t, t2)          | -P(t, t2) / P(t, t1)    | 
-----------------------------------------------------------------------------
 total         | 0                  | +P(t1, t2)              | 0
               |                    | -P(t, t2) / P(t, t1)    |

La cartera tiene los mismos flujos de caja como el avance en ambos $t$ y $t_2$. Tiene el mismo azar de flujo de efectivo en $t_1$ ($+P(t_1, t_2)$) y por tanto el no-aleatoria de los flujos de caja en este momento también tiene que estar de acuerdo, es decir, $K = P(t, t_2) / P(t, t_1)$.

Answer 2

Deje que $E^{t_1}$ se la expectativa de operador, de conformidad con $t_1$-forwad probabilidad de medida $P^{t_1}$, que toma el precio de los bonos proceso $\{P(t, t_1), \, 0\le t \le t_1\}$ como el numeraire. Entonces, el precio del contrato a plazo, en vez de $t$, donde $0\le t \le t_1$, está dada por \begin{align*} E^{t_1}\big(P(t_1, t_2)\mid \mathcal{F}_t\big) &= E^{t_1}\left(\frac{P(t_1, t_2)}{P(t_1, t_1)}\mid \mathcal{F}_t\derecho)\\ &=\frac{P(t, t_2)}{P(t, t_1)}, \end{align*} como $\left\{\frac{P(t, t_2)}{P(t, t_1)}, 0\le t \le t_1\right\}$ es una martingala bajo los $t_1$-forwad probabilidad de medida $P^{t_1}$. Aquí, $\mathcal{F}_t$ es el conjunto de información en tiempo $t$.