¿Cuáles son las consecuencias de violar los límites de Hansen-Jagannathan?

Question

Nota: he añadido muchos más detalles a esta pregunta He decidido añadir el detalle sin alterar el texto original, ya que varios de los que ofrecieron asistencia pidieron aclaraciones. Por favor, desplácese hacia abajo a la sección en negrita de abajo para una descripción más completa del problema.

Con relativamente pocas suposiciones (rendimientos excesivos estacionarios), y un poder predictivo arbitrariamente pequeño (pero positivo) para una señal de negociación algorítmica, puedo construir una serie de estrategias con rendimientos excesivos $S_n$ con un ratio de Sharpe arbitrariamente grande, es decir, $$\frac{E[S_n]}{\sigma[S_n]}\rightarrow\infty$$ y al mismo tiempo, $Prob\{|S_n|>0\}\rightarrow 0$ (es decir, la probabilidad de negociar llega a cero).

Esto parece contradecir Límites de Hansen-Jagannathan, que muestran que para todos los activos valorados en la economía con exceso de rentabilidad $R_e$ y el núcleo de precios $M$ necesariamente tendríamos $$0=E[M R_e]$$ y esto nos da el límite: $$\frac{|E[R_e]|}{\sigma[R_e]} \le \frac{\sigma[M]}{E[M]}$$ es decir, el ratio de Sharpe de los activos en nuestra economía está limitado por la inversa del Sharpe del núcleo de precios, también conocido como buena oferta vinculada .

En otras palabras, los arbitrajes cercanos existirían, aunque la probabilidad de obtener algún rendimiento es insignificante.

¿Cuáles son las consecuencias de esto?

¿Sería esto entonces una anomalía en los precios ?

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¿Anomalía de precios para rendimientos estacionarios con ACF no nula?

Consideramos una estrategia dinámica (por ejemplo, de impulso o de reversión de la media) sobre una serie temporal estacionaria de rendimientos excesivos, $R_t$ que tiene media cero y función de autocorrelación (ACF) fija y se rige por innovaciones gaussianas (es decir, $R_t\sim \mathscr{N}(0,\sigma_R^2)$ y $E[R_tR_s]=C(t-s)$ con $C(k)\ne 0$ para algunos $k\geq 1$ ). Aquí hemos asumido que al menos uno de los elementos del ACF es distinto de cero.

Tenemos una señal $X_t$ que se desconoce pero que tampoco tiene previsión. Así, por ejemplo, en el momento $t$ podríamos hacer que fuera una media móvil ponderada exponencialmente, $X_t=\sum_1^\infty \lambda^k R_{t-k}$ o que sea la previsión de un modelo ARIMA entre otras cosas. En cualquier caso, la señal $X$ y los rendimientos $R$ se suponen conjuntamente normales. (es decir, $X_t\sim \mathscr{N}(0,\sigma_X^2)$ y $E[X_t R_t]=\rho$ )

Para los que se preocupan por la noción de previsión: supondremos que en el momento $t$ , $X_t$ es totalmente conocido mientras que $R_t$ no se ve. En consecuencia, los momentos del condicional rendimientos de la estrategia $E_t[(X_t R_t)^k]=X_t^k E[R_t^k]$ son simplemente momentos de la distribución normal condicionada $R_t$ . Estamos interesados en ver el incondicional momentos de un período de la estrategia, por ejemplo, $E[(X_t R_t)^k]$ que pueden ser caracterizados por el teorema de Isserlis o de Wick, y tienen propiedades como la asimetría positiva y el exceso de curtosis, como se ve comúnmente en los rendimientos de los CTA. Además, la distribución de $X_tR_t$ es totalmente conocido.

Como he mencionado, estamos interesados en las propiedades incondicionales de la estrategia $X_tR_t$ que son fáciles de caracterizar debido a la normalidad conjunta de $X$ y $R$ en términos de correlación $\rho$ :

$$ SR = \frac{\rho}{\sqrt{\rho^2+1}}$$ y la asimetría es $$ \gamma_3=\frac{2\rho(3+\rho^{2})}{(1+\rho^{2})^{\frac{3}{2}}}, $$ y la curtosis es $$ \gamma_4 = \frac{3(3+14\rho^2+3\rho^4)}{(1+\rho^2)^2} $$

Una consecuencia inmediata es que, para maximizar el ratio de Sharpe, no debemos preocuparnos por la predicción (es decir, minimizar el MSE), sino que debemos considerar la maximización de la correlación entre nuestra señal y los rendimientos. En consecuencia, OLS no es el marco óptimo, (es decir, las ecuaciones de Yule-Walker no son del todo correctas) y más bien los mínimos cuadrados ortogonales o totales (TLS) son más apropiados. El TLS se deriva del PCA.

Además, es posible determinar los errores estándar de los ratios de Sharpe para las estrategias dinámicas, que son un refinamiento de los de Lo (Lo, Andrew W. Las estadísticas de los ratios de Sharpe. Financial analysts journal 58.4 (2002): 36-52), aunque para todos $|\rho|<0.5$ se aproximan razonablemente utilizando los cálculos de stderr ajustados de Mertens (E. Mertens, Comentarios sobre la varianza del estimador IID en Lo, Nota de investigación, 2002, http://www.elmarmertens.com/research/discussion#TOC-Correcta-varianza-para-estimar-los-coeficientes-Sharpe ).

Transformadas no lineales Nuestro estudio nos lleva a las transformadas no lineales de la señal $X$ lo que significa que escalaremos cada operación en $f(X)$ en lugar de $X$ en sí mismo. En nuestro trabajo, consideramos óptimo transformaciones (como las que maximizan la relación de Sharpe entre todas las transformaciones suaves, etc.). Entre las transformaciones no lineales suaves $f()$ de nuestra señal $X$ se puede demostrar que el óptimo (maximización del ratio de Sharpe) la transformación suave viene dada por $$f^*(x)= \frac{E[R|X=x]}{E[R^2|X=x]}$$ y en el caso de que la señal y los retornos sean conjuntamente normales, esto se reduce a $$f^*(x)= \frac{\beta X}{\beta^2 X^2 +\sigma^2_{R|X}}$$ donde $R=\beta X+\eta$ con $\eta\sim \mathcal{N}(0,\sigma_{R|X}^2)$ .

El ratio de Sharpe óptimo obtenido mediante una transformación suave puede encontrarse como $$SR^*=\frac{A}{(1-A)^{1/2}}$$ donde $$A=E_x\bigl[\frac{E[R|X=x]^2}{E[R^2|X=x]}\bigr].$$ En el caso de que la señal y los rendimientos sean conjuntamente gaussianos, esto se puede encontrar en forma cerrada (FWIW).

Hasta aquí los antecedentes (que se tratan en un próximo artículo, Firoozye, N y Koshiyama, A, Estrategias dinámicas óptimas sobre rendimientos guasianos , en preparación).

Si te interesa el documento, avísame, ya que puedo publicar un enlace aquí una vez que lo hayamos ordenado un poco más.

Si en cambio restringimos nuestra atención a las transformaciones no lineales que son funciones indicadoras simples, dejamos que $$f_\epsilon(x)=1_{x>\epsilon}-1_{x<-\epsilon}$$ (es decir, operamos en base a un umbral y estamos largos o cortos de una unidad del subyacente) para $\epsilon>0$ entonces el ratio de Sharpe para la estrategia $S_\epsilon=f_\epsilon(X)R$ se puede calcular como $$SR[f(X)R]=\frac{\sqrt{2} \rho M(\lambda)}{\sqrt{1+\rho^2 M(\lambda)(\lambda -2M(\lambda))}}$$ donde $\lambda =\epsilon/\sigma_X$ y $M(\lambda)$ es el Relación inversa de Mills o $$M(\lambda)=\frac{\phi(\lambda)}{1-\Phi(\lambda)}$$ para $\phi$ y $\Phi$ siendo la PDF gaussiana y la CDF respectivamente. Aunque no es obvio, podemos demostrar numéricamente que este ratio de Sharpe se vuelve ilimitado para $\epsilon$ lo suficientemente grande. Obsérvese que no he demostrado que $SR\rightarrow \infty$ pero parece que para $\lambda$ lo suficientemente grande siempre se convierte en ilimitado.

En consecuencia, con relativamente pocas suposiciones (rendimientos excesivos estacionarios), y un poder predictivo arbitrariamente pequeño (pero positivo) para una señal de negociación algorítmica, podemos construir una serie de estrategias con rendimientos excesivos $S_\epsilon$ con un ratio de Sharpe arbitrariamente grande, es decir, $$\frac{E[S_\epsilon]}{\sigma[S_\epsilon]}\rightarrow\infty$$ pero al mismo tiempo, observamos que $Prob\{|S_\epsilon|>0\}\rightarrow 0$ (es decir, la probabilidad de negociar llega a cero).

Esto parece contradecir Límites de Hansen-Jagannathan, que muestran que para todos los activos valorados en la economía con exceso de rentabilidad $R_e$ y el núcleo de precios $M$ necesariamente tendríamos $$0=E[M R_e]$$ y esto nos da el límite vía CSB: $$\frac{|E[R_e]|}{\sigma[R_e]} \le \frac{\sigma[M]}{E[M]}$$ es decir, el ratio de Sharpe de los activos en nuestra economía está limitado por la inversa del Sharpe del núcleo de precios, también conocido como buena oferta vinculada .

En otras palabras, en nuestra economía, en la que los excesos de rentabilidad son estacionarios con un ACF fijo (no nulo), existirían casi arbitrajes, aunque la probabilidad de obtener cualquier rentabilidad es insignificante.

• ¿Cuáles son las consecuencias de esto?

• ¿Sería esto entonces una anomalía en los precios ?

Answer 1

La interpretación de los límites de Hansen-Jagannathan es que se trata de un límite a los factores de descuento estocástico, no de un límite a los rendimientos. Si $\frac{\operatorname{E}[R_e]}{\sigma(R_e)}$ es ilimitado por encima, entonces también lo es $\frac{\sigma(M)}{\operatorname{E}[M]}$ .

Derivación rápida del límite de Hansen Jagannathan

Por la desigualdad de Cauchy-Schwartz: $$ |\operatorname{Cov}(R_e, M) | \leq \sigma(R_e) \sigma(M)$$ Si la función de precios de un pago es lineal (es decir $p(\alpha X + \beta Y) = \alpha p(X) + \beta p(Y)$ ), entonces la función de precios puede escribirse como el producto interno con un factor de descuento estocástico $M$ . Aplicar que el producto interno de la rentabilidad del coste cero $R_e$ con factor de descuento estocástico $M$ da correctamente el precio 0 (es decir $ \operatorname{E}[R_e M] = 0$ ) $$ |\operatorname{E}[R_e]\operatorname{E}[M] | \leq \sigma(R_e) \sigma(M)$$ Si no existen oportunidades de arbitraje, entonces $M$ es estrictamente positivo y $\operatorname{E}[M] > 0$ . Además, si $\sigma(R_e) > 0$ entonces:

$$ \frac{|\operatorname{E}[R_e] |}{\sigma(R_e)} \leq \frac{\sigma(M)}{\operatorname{E}[M]}$$

Los supuestos que han llegado hasta aquí son bastante mínimos.