Tengo un problema de control óptimo donde tengo dos de control y una variable de estado.
$$max\int_{0}^{\infty}\left(u\a la izquierda(c\derecho)-P_{M}M\derecho)e^{-\rho t}dt\etiqueta{1}$$
donde $P_{M}$ es el precio por unidad de carbono en la mitigación de la actividad ($CO_2$ mitigación en la atmósfera) y $M$ es la variable de control, que es el nivel de mitigación que elegimos de manera óptima.
La variable de estado es
$$\dot{S}=R\left(S\derecho)-c+\eta\left(M\derecho)\etiqueta{2}$$
donde $S$ es la calidad ambiental, $c$ es el consumo, $R(S)$ es la regeneración del medio ambiente (como la función de producción en los modelos con la acumulación de capital) y $\eta (M)$ es el carbono de mitigación de la función, que se supone es creciente y cóncava de la función. Como es lógico, esta función contribuye al aumento de la calidad ambiental.
Puedo escribir el Hamiltoniano ;
$$\mathcal{H}=u\a la izquierda(c\derecho)-P_{M}M+\lambda\left[R\left(S\derecho)-c+\eta\left(M\derecho)\right]$$
El FOC son ;
$$u_{c}=\lambda\etiqueta{3}$$
$$P_{M}=\lambda\eta_{M}\left(M\derecho)\etiqueta{4}$$
$$\dot{\lambda}=\rho\lambda-\lambda\left(R_{S}\left(S\ \ derecho)\derecho)\etiqueta{5}$$
Así, en este modelo, tengo 2 variables de control, el consumo de $c$ y mitigación $M$ y una variable de estado $S$.
Tengo una duda acerca de la escritura de la Matriz Jacobiana, Si no tenemos la segunda variable de control $M$, me gustaría escribir una dimensión 2 sistema diferencial de $\dot{c}$ y $\dot{S}$, pero como tengo una segunda variable de control $M$, no estoy seguro de si siempre puedo describir toda la dinámica de la economía por dos ecuaciones diferenciales.
Cuando intento ver la dinámica de la variable de control $M$, con la diferenciación de la ecuación $(4)$ de acuerdo al tiempo, que tengo ;
$$\frac{\dot{\lambda}}{\lambda}+\frac{\eta_{MM}}{\eta_{M}}\dot{M}=0\etiqueta{6}$$
De acuerdo a la ecuación $(6)$ la dinámica de carbono en la mitigación $M$ es representado por la dinámica de costate variable.
En este caso, puedo representar a todos describir la dinámica de esta economía sólo por dos ecuaciones diferenciales que son $\dot{c}$ y $\dot{S}$ ?
Gracias de antemano por las sugerencias y consejos.
