Detención de la simulación Monte Carlo cuando se alcanza un determinado nivel de convergencia

Question

Estoy creando un modelo de simulación Monte Carlo que utilizo para fijar el precio de una opción europea con varias condiciones de pago, por lo que no puedo utilizar Black Scholes.

Quiero detener la simulación una vez que esté seguro al 95% de que estoy dentro del 1% del valor verdadero.

Para ello, calculo el error relativo (¿nomenclatura correcta?) cada 10 000 sims utilizando:

$$Relative Error = \frac{(\sigma/\sqrt{n}) Z_{\delta/2}}{\mu} $$

Dónde $$\sigma/\sqrt{n}$$ representan el error típico y $$Z_{\delta/2}$$ mi nivel de confianza, así que 1,96 para el 95%.

es la media (valor razonable) de la simulación.

Si el error relativo es inferior, digamos, al 1%, detengo la simulación.

¿Es ésta la forma correcta de resolver mi problema?

Answer 1

Tienes la idea correcta, pero parece que no sabes $\mu$ por lo que utilizarlo en su comprobación de errores no parece correcto. Además, comprobar el resultado cada 10.000 iteraciones puede no ser óptimo para decidir cuándo parar.

Para que quede claro $E(X) = \mu$ y $Var(X) = \sigma$ . Estamos invocando el CLT cuando escribimos $$ P\left( \left|\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right| > 1.96 \right) \approx P(|Z| > 1.96) = 0.05. $$ En otras palabras, existe aproximadamente un 95% de probabilidad de que la media muestral $\bar{X}_n$ está dentro de $1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ unidades de la media real $\mu$ .

¿Cómo se utiliza esto en simulación? En primer lugar, observe $$ S_n^2 := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 $$ es un estimador insesgado de $\sigma^2$ . Por lo tanto, si queremos una probabilidad aproximada del 95% de que $\bar{X}_n$ está dentro de $0.01$ unidades de $\mu$ continuamos la simulación hasta que $$ 1.96\frac{S_n}{\sqrt{n}} < 0.01. $$

Hay que tener en cuenta dos aspectos importantes:

1. Deberíamos tener $n \geq 30$ utilizar esta comprobación de errores, ya que es un resultado del CLT, y
2. Una aplicación en línea de $\bar{X}_n$ y $S_n^2$ sería mucho más eficiente, para no tener que volver a calcularlos cada vez.

Para el punto 2, podemos utilizar \begin{align} \bar{X}_{n+1} & = \bar{X}_n + \frac{X_{n+1} - \bar{X}_n}{n+1}, \\ S^2_{n+1} & = \left(1 - \frac{1}{n}\right)S_n^2 + (n+1)(\bar{X}_{n+1} - \bar{X}_n)^2 \end{align} Ahora podemos utilizar simplemente un while ( $1.96\frac{S_n}{\sqrt{n}} > 0.01$ ), deteniéndose exactamente en la iteración en la que se produce este error.

Answer 2

Sí, es un enfoque excelente. La única vez que podría ir mal es si, por ejemplo, usted está integrando en algún evento de cola extrema sin utilizar el muestreo de importancia.

Por ejemplo, supongamos que está simulando la pérdida esperada de una cartera de cinco bonos emitidos por EE.UU., Alemania, Noruega, Suecia y Países Bajos. Después de 10.000 simulaciones, existe la posibilidad de que aún no haya generado ninguna trayectoria con impagos, en cuyo caso $\sigma=0$ y su algoritmo se detendría.